Convergência Absoluta e Condicional

Seção 2 Convergência Absoluta e Condicional

🔗Até aqui apresentamos exemplos de séries que convergem e de séries que divergem. De fato, não discutimos o quão robusta é a convergência das séries — ou seja, podemos ajustar os coeficientes de alguma forma, deixando a convergência inalterada. Um bom exemplo disso é a série

\begin{gather*} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{3} \right)^n \end{gather*}

Esta é uma série geométrica simples e sabemos que converge. O exemplo Exemplo 1.24 mostrou que podemos multiplicar ou dividir o \(\text{}\)-ésimo termo por \(n\) e ainda vai convergir. Podemo também multiplicar \(n\)-enésimo termo por \((-1)^n\) (tornando-a em uma série alternada), e ainda convergirá.

exploramos bastante a série harmônica e suas variações e sabemos que é muito mais sutíl. Enquanto

\begin{gather*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{gather*}

diverge, as duas séries a seguir convergem:

\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1.00000001}} && \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n}. \end{align*}

Isso sugere que a divergência da série harmônica é muito mais delicada. Nesta seção, discutimos uma maneira de caracterizar esse tipo de convergência delicada — especialmente na presença de mudanças de sinal.

Subseção 2.1 Definições

Definição 2.1. Convergência absoluta e Condicional.

Uma série \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) é dita absolutamente convergente se a série \(\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|\) converge.
Se \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) converge mas \(\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|\) diverge dizemos que \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) é condicionalmente convergente.

Considerando essas definições, deve ficar claro que a convergência absoluta é uma condição mais forte do que apenas a convergência simples. Todos os termos em \(\sum_n |a_n|\) são forçados a ser positivos (pela operação de valor absoluto), de modo que \(\sum_n |a_n|\) deve ser maior que \(\sum_n a_n\) — tornando mais fácil para \(\sum_n |a_n|\) divergir. Isso é formalizado pelo seguinte teorema, sendo uma consequência imediata do Teste da Comparação, com \(c_n=|a_n|\text{.}\)

Teorema 2.2. Convergência absoluta implica em Convergência.

Se a série \(\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|\) converge então a série \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) também converge. Ou seja, convergência absoluta implica convergência.

Lembre-se de que alguns dos testes de convergência apresentados (por exemplo, Teste da Integral ) só podem ser aplicados a séries com termos positivos. O Teorema 2.2 abre a possibilidade de aplicar testes destes de convergência “somente positivos” para séries cujos termos não são todos positivos, verificando a “convergência absoluta” ao invés da “convergência simples”

Exemplo 2.3. \(\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\).

A série harmônica alternada \(\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\) do Exemplo Exemplo 1.19 converge (Teste da Série Alternada). Mas a série harmônica\(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\) do Exemplo 1.9 diverge (peloTeste da Integral). Então a série harmônica alternada \(\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\) converge condicionalmente.

Exemplo 2.4. \(\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}\).

Já que a série \(\sum_{n=1}^\infty\big|(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}\big| =\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\) do Exemplo 1.9 converge (Teste da Série Alternada), a série \(\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}\) converge absolutamente, e portanto converge.

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