Teorema 1.1. Teste da Divergência.
Se a sequência \(\big\{a_n\big\}_{n=1}^\infty\) não converge para zero \(n\rightarrow\infty\text{,}\) tentão a série \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) diverge.
Seção 1 Testes de Convergência
É muito comum encontrar séries para as quais é difícil, ou mesmo praticamente impossível, determinar soma de forma exata. Muitas vezes tenta-se avaliar a soma por aproximação truncando-a, ou seja, fazendo com que o índice seja executado apenas até algum valor finito \(N\text{,}\) ao invés de infinito. Entratanto, não faz sentido fazê-lo se a série for divergênte. Potanto, se torna interessante saber se a série converge ou não. Além disso, também é importantante saber qual é o erro quando aproximamos \(\sum^{\infty}_{n=1}a_n\) pela “série truncada” \(\sum^{N}_{n=1}a_n\text{.}\) Isso é chamado de erro de truncamento.
Subseção 1.1 Teste da Divergência
Nosso primeiro teste basea-se na constatação de que
- por definição, uma série \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) converge para \(S\) quando as somas parciais \(S_N=\sum_{n=1}^N a_n\) converge para \(S\text{.}\)
- Então, como \(N\rightarrow\infty\text{,}\) temos \(S_N\rightarrow S\) e, pois \(N-1\rightarrow\infty\) temos também \(S_{N-1}\rightarrow S\text{.}\)
- Logo \(a_N=S_N-S_{N-1}\rightarrow S-S=0\text{.}\)
Isso nos diz que, se já sabemos que uma dada série, \(\sum a_n\) é convergente, então \(n\)- ésimo termo da série, \(a_n\text{,}\) deve convergir para \(0\) quando \(n\) tende ao infinito. Nesta forma, o teste não é tão útil. No entanto, a contrapositiva é um teste útil para divergência.
Exemplo 1.2. Uma série divergente.
A série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}\) é divergente.
Solução.
Seja \(a_n=\frac{n}{n+1}\text{.}\) Então
\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n
=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n+1}
=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}
=1\ne 0
\end{equation*}
Assim a série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}\) diverge.
Atenção 1.3.
O teste de divergência é um “teste de sentido único”. Afirma que \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\) não é zero, ou não existe, então a série \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) diverge. Mas não diz absolutamente nada quando \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\text{.}\) Em particular, é perfeitamente possível que uma série \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) divergir embora \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\text{.}\) A série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\) é um exemplo disto. Mostraremos no Exemplo 1.9, que ela diverge.
Agora, enquanto a convergência ou divergência de séries como \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\) pode ser determinado usando alguns truques. Nas próximas subseções, discutiremos vários métodos para testar a convergência de séries.
Observe que, embora esses testes nos digam se uma série converge ou não, eles não (exceto em casos raros) determinam qual é a soma da série. Por exemplo, o teste que veremos na próxima subseção verifica que a série
\begin{gather*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}
\end{gather*}
converge. No entanto, não calcula seu valor.
Subseção 1.2 Teste da Integral
No teste da integral, pensamos em uma série \(\sum_{n=1}^\infty a_n\text{,}\) que não podemos avaliar explicitamente, como a área de uma união de retângulos, com \(a_n\) representando a área de um retângulo de largura um e altura \(a_n\text{.}\) Então comparamos essa área com a área representada por uma integral, que podemos avaliar explicitamente. Começaremos com um exemplo simples, para ilustrar a ideia. Em seguida, passaremos a uma formulação do teste em geral.
Exemplo 1.4. Convergência da série harmônica.
Visualize os termos da série harmônica \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\) como um gráfico de barras — cada termo é um retângulo de altura \(\frac{1}{n}\) e largura \(1\text{.}\) O limite da série é então a área limite desta união de retângulos.
Considere o esboço à esquerda daFigura 1.5. Isto mostra que a área das colunas sombreadas, \(\sum_{n=1}^4\frac{1}{n}\text{,}\) é maior que a área sob a curva \(y=\frac{1}{x}\) com \(1\le x\le 5\text{.}\) Ou seja
\begin{align*}
\sum_{n=1}^4 \frac{1}{n} & \ge \int_1^5 \frac{1}{x}\dee{x}
\end{align*}
Se continuássemos desenhando as colunas infinitamente, teríamos
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} & \ge \int_1^\infty \frac{1}{x}\dee{x}
\end{align*}
Podemos calcular exatamente essa integral imprópria:
\begin{align*}
\int_1^\infty \frac{1}{x} \dee{x} &= \lim_{R \to \infty} \Big[ \log|x| \Big]_1^R = +\infty
\end{align*}
Ou seja, a área sob a curva diverge para \(+\infty\) e, portanto, a área representada pelas colunas também deve divergir para \(+\infty\text{.}\)
Deve ficar claro que o argumento acima pode ser facilmente generalizado. Por exemplo, o mesmo argumento vale para a série
\begin{gather*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}
\end{gather*}
De fato, vemos à direita da Figura 1.5 que
\begin{align*}
\sum_{n=2}^N \frac{1}{n^2} &\le \int_1^N \frac{1}{x^2}\dee{x}
\end{align*}
e, portanto
\begin{gather*}
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2} \leq \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\dee{x}
\end{gather*}
Esta última integral imprópria é fácil de calcular:
\begin{align*}
\int_2^\infty \frac{1}{x^2}\dee{x} &= \lim_{R\to\infty} \left[ - \frac{1}{x} \right]_2^R\\
&= \lim_{R\to\infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{R} \right) = \frac{1}{2}
\end{align*}
Assim sabemos que
\begin{gather*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = 1+ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2} \leq \frac{3} {2}.
\end{gather*}
e assim a série deve convergir.
Os argumentos acima são formalizados no seguinte teorema.
Teorema 1.6. Teste da Integral.
Seja \(N_0\) qualquer número natural. Se \(f(x)\) for uma função definida e contínua para todo \(x\ge N_0\) e que obedece
- \(f(x)\ge 0\) para todo \(x\ge N_0\) e
- \(f(x)\) diminui à medida que \(x\) aumenta e
- \(f(n)=a_n\) para todo \(n\ge N_0\text{.}\)
Então
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^\infty a_n\text{ converge }\iff \int_{N_0}^\infty f(x)\ dx\text{ converge }
\end{equation*}
Além disso, quando a série converge, o erro de truncamento é
\begin{equation*}
\bigg|\sum_{n=1}^\infty a_n-\sum_{n=1}^N a_n\bigg|\le \int_N^\infty f(x)\ dx\qquad\text{para
todo
$N\ge N_0$}
\end{equation*}
Demonstração.
Seja \(I\) qualquer inteiro fixo com \(I \gt N_0\text{.}\) Então
- \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) converge se e somente se \(\sum_{n=I}^\infty a_n\) converge — remover um número finito fixo de termos de uma série não pode afetar se ela converge ou não.
- Como \(a_n\ge 0\) para todo \(n\ge I \gt N_0\text{,}\) a sequência de somas parciais \(s_\ell=\sum_{n=I}^\ell a_n\) obedece \(s_{\ell+1} = s_\ell+a_{n+1} \ge s_\ell\text{.}\) Ou seja, \(s_\ell\) aumenta à medida que \(\ell\) aumenta.
- Portanto, \(\big\{s_\ell\big\}\) deve convergir para algum número finito ou aumentar para infinito. Ou seja, \(\sum_{n=I}^\infty a_n\) converge para um número finito ou é \(+\infty\text{.}\)
A área sombreada na Figura 1.7 é \(\sum_{n=I}^\infty a_n\) pois
- o primeiro retângulo sombreado tem altura \(a_I\) e largura \(1\) e, portanto, área \(a_I\) e
- o segundo retângulo sombreado tem altura \(a_{I+1}\) e largura \(1\) e, portanto, área \(a_{I+1}\) e assim por diante
Essa área sombreada é menor que a área sob a curva \(y=f(x)\) para \(I-1\le x \lt \infty\text{.}\) Então
\begin{equation*}
\sum_{n=I}^\infty a_n \le \int_{I-1}^\infty f(x)\ dx
\end{equation*}
e, se a integral for finita, a soma \(\sum_{n=I}^\infty a_n\) também será finita. Além disso, o limite desejado no erro de truncamento é apenas o caso especial desta desigualdade com \(I=N+1\text{:}\)
\begin{gather*}
\sum_{n=1}^\infty a_n - \sum_{n=1}^N a_n =\sum_{n=N+1}^\infty a_n \le \int_N^\infty f(x)\ dx
\end{gather*}
Para o “caso de divergência” veja aFigura 1.8. A (nova) área sombreada na figura é novamente \(\sum_{n=I}^\infty a_n\) porque
- o primeiro retângulo sombreado tem altura \(a_I\) e largura \(1\) e, portanto, área \(a_I\) e
- o segundo retângulo sombreado tem altura \(a_{I+1}\) e largura \(1\) e, portanto, área \(a_{I+1}\) e assim por diante
Desta vez, a área sombreada é maior que a área sob a curva \(y=f(x)\) para \(I\le x \lt
\infty\text{.}\) Então
\begin{equation*}
\sum_{n=I}^\infty a_n \ge \int_I^\infty f(x)\ dx
\end{equation*}
e, se a integral for infinita, a soma \(\sum_{n=I}^\infty a_n\) também será infinita.
Agora que temos o teste da integral, é simples determinar para quais valores de \(p\) a série
\begin{gather*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}
\end{gather*}
converge.
Exemplo 1.9. O \(p\)-teste: \(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\).
Seja \(p \gt 0\text{.}\) Agora usaremos o teste da integral para determinar se a série \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\) (que às vezes é chamada de \(p\)-series) converge.
- Para isso, precisamos de uma função \(f(x)\) que obedeça \(f(n)=a_n=\frac{1}{n^p}\) para todo \(n\) maior que algum \(N_0\text{.}\) Certamente \(f(x)=\frac{1}{x^p}\) obedece \(f(n)=\frac{1}{n^p}\) para todo \(n\ge 1\text{.}\) Então, vamos escolher este \(f\) e tentar \(N_0=1\text{.}\) (Podemos sempre aumentar \(N_0\text{,}\) se for necessário.)
- Esta função também obedece às outras duas condições do Teorema 1.6 :
- \(f(x) \gt 0\) para todo \(x\ge N_0=1\) e
- \(f(x)\) descrece à medida que \(x\) cresce já que \(f'(x)=-p\frac{1}{x^{p+1}} \lt 0\) para todo \(x\ge N_0=1\text{.}\)
- Portanto, o teste da integral nos diz que a série \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\) converge se e somente se a integral \(\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}\) converge.
- Sabemos que a integral \(\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}\) converge se somente se \(p \gt 1\text{.}\)
Portanto, concluímos que \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\) converge se e somente se \(p \gt 1\text{.}\) Este às vezes é chamado de \(p\)-teste.
- Em particular, a série \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\text{,}\) que é chamada de série harmônica, tem \(p=1\) e assim diverge. À medida que adicionamos mais e mais termos dessa série, os termos que adicionamos, a saber, \(\frac{1}{n}\text{,}\) ficam cada vez menores e tendem a zero, mas tendem a zero muito lentamente que a soma total ainda é infinita.
- Por outro lado, a série \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{1.000001}}\) tem \(p = 1.000001 \gt 1\) e assim converge. Desta vez, à medida que adicionamos mais termos desta série, os termos que adicionamos, a saber, \(\frac{1}{n^{1.000001}}\text{,}\) tendem a zero (apenas) rápido o suficiente para que soma total seja finita. Lembre-se, para este exemplo, a convergência ocorre muito lentamente — é necessário pegar um grande número de termos para obter uma aproximação decente da soma total. Se aproximarmos \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{1.000001}}\) pela série truncada \(\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^{1.000001}}\text{,}\) cometemos um erro de no máximo\begin{align*} \int_N^\infty \frac{dx}{x^{1.000001}} & = \lim_{R\rightarrow\infty} \int_N^R \frac{dx}{x^{1.000001}}\\ & = \lim_{R\rightarrow\infty}- \frac{1}{0.000001} \Big[\frac{1}{R^{0.000001}}-\frac{1}{N^{0.000001}}\Big]\\ & =\frac{10^6}{N^{0.000001}} \end{align*}Isso tende a zero quando \(N\rightarrow\infty\text{,}\) mas muito lentamente.
Agora sabemos que a linha divisória entre convergência e divergência de \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\) ocorre em \(p=1\text{.}\) Podemos ir um pouco mais a fundo e perguntar quanto mais rápido do que \(\frac{1}{n}\) o \(n\)-ésimo precisa diminuir para que a série convirja. Sabemos que para grandes valores para \(x\text{,}\) a função \(\log x\) é menor que \(x^a\) para qualquer \(a\) — para se convencer disso basta aplicar da regra de L’Hôpital. Portanto, não é irracional perguntar se a série
\begin{gather*}
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \log n}
\end{gather*}
converge. Observe que somamos de \(n=2\) porque quando \(n=1, n\log n=0\text{.}\) Podemos analisar a convergência dessa soma com qualquer potência de \(\log n\text{.}\)
Exemplo 1.10. \(\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\log n)^p}\).
Seja \(p \gt 0\text{.}\) Agora usaremos o teste integral para determinar se a série \(\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\log n)^p}\) converge.
- Como no último exemplo, começamos escolhendo uma função que obedece \(f(n)=a_n=\frac{1}{n(\log n)^p}\) para todo \(n\) maior que algum \(N_0\text{.}\) Certamente \(f(x)=\frac{1}{x(\log x)^p}\) obedece \(f(n)=\frac{1}{n(\log n)^p}\) para todo \(n\ge 2\text{.}\) Então, vamos usar esse \(f\) e tentar \(N_0=2\text{.}\)
- Agora vamos verificar as outras duas condições doTeorema 1.6:
- Tanto \(x\) quanto \(\log x\) são positivos para todo \(x \gt 1\text{,}\) então \(f(x) \gt 0\) para todo \(x\ge N_0=2\text{.}\)
- À medida que \(x\) aumenta, \(x\) e \(\log x\) aumentam e, portanto, \(x(\log x)^p\) aumenta e \(f(x)\) diminui.
- Assim, o teste integral nos diz que a série \(\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\log n)^p}\) converge se e somente se a integral \(\int_2^\infty\frac{dx}{x (\log x)^p}\) converge.
- Para testar a convergência da integral, fazemos a substituição \(u=\log x\text{,}\) \(du=\frac{dx}{x}\text{.}\)\begin{gather*} \int_2^R \frac{dx}{x (\log x)^p} =\int_{\log 2}^{\log R}\frac{du}{u^p} \end{gather*}Já sabemos que a integral é a integral \(\int_1^\infty\frac{du}{u^p}\) e, portanto, a integral \(\int_2^R \frac{dx}{x (\log x)^p}\text{,}\) converge se e somente se \(p \gt 1\text{.}\)
Portanto, concluímos que \(\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\log n)^p}\) converge se e somente se \(p
\gt 1\text{.}\)
Subseção 1.3 Teste da Comparação
Nosso próximo teste de convergência é o teste de comparação. É muito parecido com o teste de comparação para integrais impróprias e é válido pelas mesmas razões. A ideia aproximada é bastante simples. Uma soma de termos maiores deve ser maior que uma soma de termos menores. Então, se sabemos que a grande soma converge, a pequena soma também deve convergir. Por outro lado, se sabemos que a pequena soma diverge, a grande soma também deve divergir. A formalização dessa ideia fornece o seguinte teorema.
Teorema 1.11. Teste da Comparação.
Seja \(N_0\) um número natural e seja \(K \gt 0\text{.}\)
- Se \(|a_n|\le K c_n\) para todo \(n\ge N_0\) e \(\sum\limits_{n=0}^\infty c_n\) converge, então \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\) converge.
- Se \(a_n\ge K d_n\ge0\) para todo \(n\ge N_0\) e \(\sum\limits_{n=0}^\infty d_n\) diverge, então \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\) diverge.
“Demonstração”.
Não Demonstraremos este teorema aqui. Vamos apenas fazer algumas observações. É por isso que existem aspas em “Demonstração”. Para uma prova real veja a seção opcional
[cross-reference to target(s) "sec_CompProof" missing or not unique].- Se \(\sum\limits_{n=0}^\infty c_n\) converge para um número finito e se os termos em \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\) são menores que os termos em \(\sum\limits_{n=0}^\infty c_n\text{,}\) então não é surpresa que \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\) também converge.
- Se \(\sum\limits_{n=0}^\infty d_n\) diverge (ou seja, tende ao \(\infty\)) e se os termos em \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\) são maiores que os termos em \(\sum\limits_{n=0}^\infty d_n\text{,}\) então obviamente \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\) tende ao \(\infty\text{,}\) e assim também diverge.
O teste de comparação para séries também é usado da mesma maneira que o teste de comparação para integrais impróprias. Claro, é preciso uma boa série para comparar, e muitas vezes a série \(\sum n^{-p}\) (do Exemplo 1.9), para algum \(p \gt 0\text{,}\) é a escolhida.
Exemplo 1.12. \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+2n+3}\).
Poderíamos determinar se a série \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+2n+3}\) converge aplicando o teste da integral. Mas não vale o esforço. A convergência ou não de qualquer série é determinada pelo comportamento da soma para \(n\) muito grande. Portanto, o primeiro passo para lidar com esse problema é desenvolver alguma intuição sobre o comportamento de \(a_n\) quando \(n\) for muito grande.
- Passo 1: Neste caso, quando \(n\) for muito grande 1 \(n^2\gg 2n \gg 3\) para que \(\frac{1}{n^2+2n+3}\approx\frac{1}{n^2}\text{.}\) Já sabemos, doExemplo 1.9, que \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\) converge se e somente se \(p \gt 1\text{.}\) Portanto, \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\text{,}\) que tem \(p=2\text{,}\) converge, e esperamos que \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+2n+3}\) convirja também.
- Passo 2: Podemos usar o teste de comparação para confirmar que esse é realmente o caso. Para qualquer \(n\ge 1\text{,}\) \(n^2+2n+3 \gt n^2\text{,}\) de modo que \(\frac{1}{n^2+2n+3}\le\frac{ 1}{n^2}\text{.}\) Então o teste de comparação,Teorema 1.11, com \(a_n=\frac{1}{n^2+2n+3}\) e \(c_n=\frac{1}{n^2}\text{,}\) nos diz que \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+2n+3}\) converge.
O exemplo anterior foi “manipulado” para facilitar a aplicação do teste de comparação. Geralmente é relativamente fácil, usando argumentos como aqueles noExemplo 1.12, encontrar uma série “simples” \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) com \(b_n\) quase igual a \(a_n\) quando \(n\) é grande. No entanto, é muito raro que \(a_n\le b_n\) para todo \(n\text{.}\) É muito mais comum que \(a_n\le K
b_n\) para alguma constante \(K\text{.}\) Isso é suficiente para permitir a aplicação do teste da comparação. A seguir um exemplo.
Exemplo 1.13. \(\sum_{n=1}^\infty\frac{n+\cos n}{n^3-1/3}\).
Como no exemplo anterior, o primeiro passo é desenvolver alguma intuição sobre o comportamento de \(a_n\) quando \(n\) for muito grande.
- Passo 1: Quando \(n\) é muito grande,
- \(n\gg |\cos n|\) temos \(n+\cos n\approx n\) e
- \(n^3 \gg \frac{1}{3}\) temos \(n^3-\frac{1}{3}\approx n^3\text{.}\)
Assim quando \(n\) é muito grande\begin{equation*} a_n=\frac{n+\cos n}{n^3-\frac{1}{3}}\approx\frac{n}{n^3}=\frac{1}{n^2} \end{equation*}Já sabemos doExemplo 1.9, com \(p=2\text{,}\) que \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\) converge, então esperamos que \(\sum_{n=1}^\infty\frac{n+\cos n}{n^3-\frac{1}{3}}\) convirja também - Passo 2: Podemos usar o teste de comparação para confirmar que esse é realmente o caso. Para fazer isso, precisamos encontrar uma constante \(K\) tal que \(|a_n|= \frac{|n+\cos n|}{n^3-1/3}=\frac{n+ \cos n}{n^3-1/3}\) é menor que \(\frac{K}{n^2}\) para todo \(n\text{.}\) Uma boa maneira 2 para fazer isso é fatorar o termo dominante (neste caso \(n\)) do numerador e também fatorar o termo dominante (neste caso \(n^3\)) do denominador.\begin{equation*} a_n=\frac{n+\cos n}{n^3-\frac{1}{3}} =\frac{n}{n^3}\ \frac{1+\frac{\cos n}{n}}{1-\frac{1}{3n^3}} =\frac{1}{n^2}\ \frac{1+\frac{\cos n}{n}}{1-\frac{1}{3n^3}} \end{equation*}Então agora precisamos encontrar uma constante \(K\) de tal forma que \(\frac{1+\frac{(\cos n)}{n}}{1-\frac{1}{3n^3}}\) seja menor que \(K\) para todo \(n\ge 1\text{.}\)
- Primeiro considere o numerador \(1+(\cos n)\frac{1}{n}\text{.}\) Para todo \(n\ge 1\)
- \(\frac{1}{n}\le 1\) e
- \(\displaystyle |\cos n|\le 1\)
Assim o numerador \(1+(\cos n)\frac{1}{n}\) é sempre menor que \(1+(1)\frac{1}{1}=2\text{.}\) - Em seguida, considere o denominador \(1-\frac{1}{3n^3}\text{.}\)
- Quando \(n\ge 1\text{,}\) \(\frac{1}{3n^3}\) encontra-se entre \(\frac{1}{3}\) e \(0\) de modo a
- \(1-\frac{1}{3n^3}\) está entre \(\frac{2}{3}\) e \(1\) e cosequentemente
- \(\frac{1}{1-\frac{1}{3n^3}}\) está entre \(\frac{3}{2}\) e \(1\text{.}\)
- Como o numerador \(1+(\cos n)\frac{1}{n}\) é sempre menor que \(2\) e \(\frac{1}{1-\frac{1}{3n^3}}\) é sempre menor que \(\frac{3}{2}\text{,}\) a fração\begin{equation*} \frac{1+\frac{\cos n}{n}}{1-\frac{1}{3n^3}} \le 2\Big(\frac{3}{2}\Big) =3 \end{equation*}
Agora sabemos que\begin{equation*} |a_n| =\frac{1}{n^2}\ \frac{1+\frac{2}{n}}{1-\frac{1}{3n^3}} \le \frac{3}{n^2} \end{equation*}e, já que \(\sum_{n=1}^\infty n^{-2}\) converge, pelo teste da comparação \(\sum_{n=1}^\infty\frac{n+\cos n}{n^3-1/3}\) converge.
O último exemplo foi na verdade uma aplicação relativamente simples do teorema de comparação — encontrar uma constante adequada \(K\) pode ser realmente complicado. Existe uma variante do teste de comparação que elimina a necessidade de encontrar explicitamente \(K\text{.}\)
A ideia por trás disso não é muito complicada. Já vimos que a convergência ou divergência de uma série não depende dos primeiros termos, mas apenas do que acontece quando \(n\) é realmente grande. Consequentemente, se pudermos descobrir como os termos da série se comportam para \(n\) realmente grande, podemos descobrir se a série converge. Então, em vez de comparar os termos da série para todo \(n\text{,}\) apenas compare-os quando \(n\) for grande.
Teorema 1.14. Teste da Comparação do Limite.
Seja \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) e \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) duas séries com \(b_n \gt 0\) para todo \(n\text{.}\) Assuma que
\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
\end{equation*}
existe.
- Se \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) converge, então \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) também converge.
- Se \(L\ne 0\) e \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) diverge, então \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) também diverge.
Em particular, se \(L\ne 0\text{,}\) então \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) converge se e somente se \(\sum_{n=1}^\infty b_n\) converge.
Demonstração.
(a) Como \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\text{,}\) sabemos que,
- quando \(n\) é grande, \(\frac{a_n}{b_n}\) fica muito próximo de \(L\text{,}\) então \(\left|\frac{a_n}{b_n}\right|\) está próximo de \(|L|\text{.}\)
- Em particular, existe algum número natural \(N_0\) para que \(\Big|\frac{a_n}{b_n}\Big|\le |L|+1\text{,}\) para todo \(n\ge N_0\) e, portanto,
- \(|a_n|\le Kb_n\) com \(K=|L|+1\text{,}\) para todo \(n\ge N_0\text{.}\)
- Teste da Comparação implica que \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) converge.
(b) Vamos supor que \(L \gt 0\text{.}\) (Se \(L \lt 0\text{,}\) basta substituir \(a_n\) por \(-a_n\text{.}\)) Já que \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\text{,}\) sabemos que,
- quando \(n\) é grande, \(\frac{a_n}{b_n}\) está muito próximo de \(L\text{.}\)
- Em particular, existe algum número natural \(N\) para que \(\frac{a_n}{b_n}\ge \frac{L}{2}\) e, portanto,
- \(a_n\ge Kb_n\) com \(K=\frac{L}{2} \gt 0\text{,}\) para todo \(n\ge N\text{.}\)
- Teste da Comparação implica que \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) diverge.
Os próximos dois exemplos ilustram o desempenho do teorema acima em relação ao teste de comparação direta (embora, é claro, precisássemos do teste de comparação para desenvolver o teste da comparação do limite).
Exemplo 1.15. \(\sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrt{n+1}}{n^2-2n+3}\).
Defina \(a_n= \frac{\sqrt{n+1}}{n^2-2n+3}\text{.}\) Primeiro tentamos desenvolver alguma intuição sobre o comportamento de \(a_n\) para \(n\) grande e confirmamos que a intuição esá correta.
- Passo 1: Intuição. Quando \(n\gg 1\text{,}\) o numerador \(\sqrt{n+1}\approx \sqrt{n}\) e o denominador \(n^2-2n+3 \approx n^2\) para que \(a_n\approx \frac{\sqrt{n}}{n^2}=\frac{1}{n^{3/2}}\) e peloExemplo 1.9, com \(p=\frac{3}{2}\text{,}\) a série converge.
- Passo 2: Confirmando a intuição. Para confirmar a intuição, definimos \(b_n=\frac{1}{n^{3/2}}\) e calculamos o limite\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{\sqrt{n+1}}{n^2-2n+3}}{\frac{1}{n^{3/2}}} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{3/2}\sqrt{n+1}}{n^2-2n+3} \end{equation*}Novamente, é uma boa ideia fatorar o termo dominante do numerador e o termo dominante do denominador.\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2\sqrt{1+\frac{1}{n}}} {n^2\big(1-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}\big)} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}} {1-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}} =1 \end{equation*}Já sabemos que a série \(\sum_{n=1}^\infty b_n =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{3/2}}\) converge pelo Exemplo 1.9 como \(p=\frac{3}{2}\text{.}\) Então a série converge pelo teste de comparação de limite, Teorema 1.14.
Exemplo 1.16. \(\sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrt{n+1}}{n^2-2n+3}\text{,}\) novamente.
Também podemos tentar lidar com a série deExemplo 1.15, usando o teste de comparação diretamente. Mas isso exige que encontremos \(K\) para que
\begin{align*}
\frac{\sqrt{n+1}}{n^2-2n+3} & \leq \frac{K}{n^{3/2}}
\end{align*}
Podemos fazer isso examinando o numerador e o denominador separadamente:
- O numerador não é razoável, pois para todo \(n \geq 1\text{:}\)\begin{align*} n+1 &\leq 2n \qquad \text{and so}\\ \sqrt{n+1} &\leq \sqrt{2n} \end{align*}
- O denominador é um pouco mais complicado, pois precisamos de um limite inferior, em vez de um limite superior, e não podemos simplesmente escrever \(|n^2-2n+3| \ge n^2\text{,}\) que é falso. Em vez disso, temos que fazer um argumento mais cuidadoso. Em particular, gostaríamos de encontrar \(N_0\) e \(K'\) para que \(n^2-2n+3\ge K'n^2\) , ou seja, \(\frac{1}{n^2-2n+3}\le\frac{1}{K'n^2}\) para todo \(n \geq N_0\text{.}\) Para \(n\ge 4\text{,}\) temos \(2n = \frac{1}{2} 4n\le \frac{1}{2}n\cdot n=\frac{1}{2}n^2\text{.}\) Portanto, para \(n\ge 4\text{,}\)\begin{align*} n^2-2n+3 & \geq n^2 -\frac{1}{2}n^2 + 3 \ge \frac{1}{2} n^2 \end{align*}
Juntando o numerador e o denominador temos
\begin{align*}
\frac{\sqrt{n+1}}{n^2-2n+3} & \leq \frac{\sqrt{2n}}{n^2/2} = 2\sqrt{2}\frac{1}{n^{3/2}}
\qquad\text{para todo $n\ge 4$}
\end{align*}
e o teste de comparação garante que a série converge. É bastante claro que a abordagem do Exemplo 1.15 foi muito mais direto.
Subseção 1.4 Sugestão de Vídeos
Subseção 1.5 Teste da Série Alternada
Quando os sinais de termos sucessivos em uma série alternam entre \(+\) e \(-\text{,}\) como por exemplo em \(\ 1-\frac{1}{2} +\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \cdots\\text{,}\) a série é chamada de série alternada. Mais geralmente, a série
\begin{equation*}
A_1-A_2+A_3-A_4+\cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} A_n
\end{equation*}
se cada \(A_n\) for positivo. Muitas vezes (mas nem sempre) os termos em séries alternadas ficam sucessivamente menores. Ou seja, \(A_1\ge A_2 \ge A_3 \ge \cdots\text{.}\) Neste caso:
- A primeira soma parcial é \(S_1=A_1\text{.}\)
- A segunga soma parcial, \(S_2=A_1-A_2\text{,}\) é menor que \(S_1\) por \(A_2\text{.}\)
- A terceira soma parcial, \(S_3=S_2+A_3\text{,}\) é maior que \(S_2\) por \(A_3\text{,}\) pois \(A_3\le A_2\text{,}\) \(S_3\) permanece menor do que \(S_1\text{.}\) Veja a Figura 1.17
- A quarta soma parcial, \(S_4=S_3-A_4\text{,}\) é menor que \(S_3\) por \(A_4\text{,}\) já que \(A_4\le A_3\text{,}\) \(S_4\) contua maior que \(S_2\text{.}\) Novamente, veja a Figura 1.17.
- E assim por diante
Assim, as sucessivas somas parciais oscilam, mas com amplitude cada vez menor. Se, além disso, \(A_n\) tende a \(0\) quando \(n\) tende a \(\infty\text{,}\) a amplitude de oscilação tende a zero e a sequência \(S_1\text{,}\) \(S_2\text{,}\) \(S_3\text{,}\) \(\cdots\) converge para algum limite \(S\text{.}\)
Isso é ilustrado na figura
A seguir está um teste de convergência para séries alternadas que explora essa estrutura e é muito fácil de aplicar.
Teorema 1.18. Teste da Série Alternada.
Seja \(\big\{A_n\big\}_{n=1}^\infty\) ser uma sequência de números reais que satisfaz
- \(A_n\ge 0\) para todo \(n\ge 1\) e
- \(A_{n+1}\le A_n\) para todo \(n\ge 1\) (ou seja, a sequência é monótona decrescente) e
- \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A_n=0\text{.}\)
Então
\begin{equation*}
A_1-A_2+A_3-A_4+\cdots=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} A_n =S
\end{equation*}
converge e, para cada número natural \(N\text{,}\) \(S-S_N\) está entre \(0\) e (o primeiro termo descartado) \((-1)^N A_{N+1}\text{.}\) Aqui \(S_N\) é, como anteriormente, a \(N\)-ésima soma parcial \(\sum\limits_{n=1}^N (-1)^{n-1} A_n\text{.}\)
Exemplo 1.19. Convergência da série harmônica alternada.
Vimos que, noExemplo 1.9, que a série harmônica \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\) diverge. Por outro lado, a serie \(\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\) converge pelo Teste da Série Alternada com \(A_n=\frac{1}{n}\text{.}\) Observe:
- \(A_n=\frac{1}{n}\ge 0\) para todo \(n\ge 1\text{,}\) de modo que \(\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\) é uma série alternada, e
- \(A_n=\frac{1}{n}\) decresce quando \(n\) cresce, e
- \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A_n =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0\text{.}\)
Assim todas as hipóteses doTeste da Série Alternada, são todas satisfeitas.
Exemplo 1.20. \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n3n}{4n-1}\).
\begin{gather*}
\lim\limits_{n\to +\infty}A_n=\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{3n}{4n-1}=\lim\limits_{n\to
+\infty}\frac{3}{4-\frac{1}{n}}=\frac{3}{4}
\end{gather*}
Assim, a condição Item iii não é satisfeita. Em vez disso, olhamos para o limite do \(n\)-enésimo termo da série:
\begin{gather*}
\lim\limits_{n\to +\infty}a_n= \lim\limits_{n\to +\infty}\frac{(-1)^n3n}{4n-1}
\end{gather*}
Este limite não existe, logo a séire é divergente peloTeste da Divergência.Subseção 1.6 Teste da Razão
A ideia por trás do teste da razão vem de um reexame da série geométrica. Lembre-se que a série geométrica
\begin{gather*}
\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty a r^n
\end{gather*}
converge quando \(|r| \lt 1\) e diverge caso contrário. Assim, a convergência desta série é completamente determinada pelo número \(r\text{.}\) Este número é apenas a razão de termos sucessivos — isto é \(r = a_{n+1}/a_n\text{.}\)
Em geral, a razão de termos sucessivos de uma série, \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\text{,}\) não é constante, mas depende de \(n\text{.}\) No entanto, como observamos acima, a convergência de uma série \(\sum a_n\) é determinada pelo comportamento dos seus termos quando \(n\) é grande. Desta forma, o comportamento desta razão quando \(n\) é pequeno não fornece nada sobre a convergência da série, mas o limite da razão quando \(n\to\infty\) . Esta é a base do teste de razão.
Teorema 1.21. Teste da Razão.
Seja \(N\) um inteiro positivo qualquer e assuma que \(a_n\ne 0\) para todo \(n\ge N\text{.}\)
- Se \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big| = L \lt 1\text{,}\) então \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) converge.
- Se \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big| = L \gt 1\text{,}\) ou \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big| = +\infty\text{,}\) então \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) diverge.
Atenção 1.22.
Observe que o teste da razão não fornece absolutamente nenhuma conclusão sobre a convergência ou divergência da série \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) se \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big| = 1\text{.}\) Como mostra o Exemplo 1.25, mais adiante.
Demonstração.
(a) Escolha um número \(R\) qualquer satisfazendo \(L \lt R \lt 1\text{.}\) Assumindo que \(\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|\) se aproxima de \(L\) quando \(n\rightarrow\infty\text{.}\) Em particular, existe algum número natural \(M\) tal que \(\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|\le R\) para todo \(n\ge M\text{.}\) Então \(|a_{n+1}|\le
R|a_n|\) para todo \(n\ge M\text{.}\) Em particular
\begin{align*}
|a_{M+1}| & \ \le\ R\,|a_M|\\
|a_{M+2}| & \ \le\ R\,|a_{M+1}| & \le\ R^2 \,|a_M|\\
|a_{M+3}| & \ \le\ R\,|a_{M+2}| & \le\ R^3 \,|a_M|\\
&\vdots\\
|a_{M+\ell}| &\le R^\ell \,|a_M|
\end{align*}
para todo \(\ell\ge 0\text{.}\) A série \(\sum_{\ell=0}^\infty R^\ell \,|a_M|\) é uma série geométrica com razão \(R\) menor que um e, portanto, converge. Consequentemente, pelo Teste da Comparação com \(a_n\) substituído por \(A_\ell = a_{n+\ell}\) e \(c_n\) substituído por \(C_\ell= R^\ell
\,
|a_M|\text{,}\) a série \(\sum\limits_{\ell=1}^\infty a_{M+\ell} =\sum\limits_{n=M+1}^\infty a_n\) converge. Assim, a série \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) converge.
(b) Supondo que \(\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|\) se aproxima de \(L \gt 1\) quando \(n\rightarrow\infty\text{.}\) Em particular, existe algum número natural \(M \gt N\) tal que \(\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|\ge 1\) para todo \(n\ge M\text{.}\) Assim \(|a_{n+1}|\ge |a_n|\) para todo \(n\ge M\text{.}\) Ou Seja, \(|a_n|\) cresce quando \(n\) cresce enquanto \(n\ge M\text{.}\) Desta forma, \(|a_n|\ge |a_M|\) para todo \(n\ge M\) e \(a_n\) não pode convergir para zero quando \(n\rightarrow\infty\text{.}\) Então a série diverge peloTeste da Divergência.
Exemplo 1.23. \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{n^3}{3^n}\).
Teste a convergência da série \(\sum(-1)^n\frac{n^3}{3^n}\) usando o Teste da Razão
Solução.
Fazendo \(a_n = (-1)^n\frac{n^3}{3^n}\) temos
\begin{align*}
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\amp
\left|\frac{\dfrac{(-1)^{n+1}(n+1)^3}{3^{n+1}}}{\dfrac{(-1)^nn^3}{3^n}}\right| =
\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{n^3}\\
\amp = \frac{1}{3}\left(\frac{n+1}{n}\right)^3=\frac{1}{3}\left(1+ \frac{1}{n}\right)^3
\end{align*}
Logo,
\begin{equation*}
\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{3}\lt 1
\end{equation*}
Exemplo 1.24. \(\sum_{n=0}^\infty \frac{a}{n+1} X^{n + 1}\).
Fixe doi números reais quaiquer diferente de zero \(a\) e \(X\text{.}\) Iniciamos mais uma vez por uma série geométrica \(\sum_{n=0}^\infty a x^n\) mas desta vez construindo cada termo integrando cada termo, \(a x^n\text{,}\) de \(x=0\) até \(x=X\) obtendo \(\frac{a}{n+1} X^{n + 1}\text{.}\) O resultado da nova série é
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty a_n\qquad\text{ no qual }a_n = \frac{a}{n+1} X^{n + 1}.
\end{equation*}
Vamos estudar a convergência da série acima.
Solução.
Para aplicar o Teste da Razão precisamos calcular
\begin{align*}
\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|
&= \bigg|\frac{\frac{a}{n+2} X^{n + 2}}{\frac{a}{n+1} X^{n + 1}}\bigg|
= \frac{n+1}{n+2} |X|
= \frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}} |X|
\rightarrow L=|X|\quad\text{as $n\rightarrow\infty$}
\end{align*}
O Teste da Razão garante que a série \(\sum_{n=0}^\infty \frac{a}{n+1} X^{n + 1}\) converge se \(|X| \lt 1\) e diverge se \(|X| \gt 1\text{.}\) Entretanto, não sabemos nada sobre os casos em que \(X=\pm 1\text{.}\)
Se \(X=1\text{,}\) a série se reduz a
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty \frac{a}{n+1} X^{n + 1}\bigg|_{X=1}
=\sum_{n=0}^\infty \frac{a}{n+1}
=a\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m}\qquad\text{com }m=n+1
\end{equation*}
que é justamente \(a\) vezes a série harmônica, divergente, peloExemplo 1.9.
Se \(X=-1\text{,}\) a série se reduz a
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty \frac{a}{n+1} X^{n + 1}\bigg|_{X=-1} =\sum_{n=0}^\infty
(-1)^{n+1}\frac{a}{n+1}
\end{equation*}
que converge peloTeste da Série Alternada. Veja oExemplo 1.19.
Concluímos, que a série \(\sum_{n=0}^\infty \frac{a}{n+1} X^{n + 1}\) converge se e somente se \(-1\le X \lt 1\text{.}\)
O teste de razão geralmente é bastante fácil de aplicar, mas deve-se sempre ter cuidado quando o limite da razão for \(1\text{.}\) O próximo exemplo ilustra isso.
Exemplo 1.25. Testes da Razão com \(L=1\).
(a)
A série harmônica \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\)
Solução.
Já vimos, noExemplo 1.9, que esta série diverge. Observe:
\begin{equation*}
\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|
= \bigg|\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}\bigg|
= \frac{n}{n+1}
= \frac{1}{1+\frac{1}{n}}
\rightarrow L=1\quad\text{quando $n\rightarrow\infty$}
\end{equation*}
(b)
Série harmônica alternada \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{n}\)
Solução.
Já vimos, noExemplo 1.19, que esta série converge. Mas também tem
\begin{equation*}
\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|
= \bigg|\frac{(-1)^n\frac{1}{n+1}}{(-1)^{n-1}\frac{1}{n}}\bigg|
= \frac{n}{n+1}
= \frac{1}{1+\frac{1}{n}}
\rightarrow L=1\quad\text{quando $n\rightarrow\infty$}
\end{equation*}
(c)
Agora a série \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\)
Solução.
Já vimos, no Exemplo 1.9 com \(p=2\text{,}\) que esta série converge. Mas também tem
\begin{equation*}
\Big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big|
= \bigg|\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\bigg|
= \frac{n^2}{(n+1)^2}
= \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^2}
\rightarrow L=1\quad\text{quando $n\rightarrow\infty$}
\end{equation*}
Subseção 1.7 Teste da Raiz
Há outro teste que é muito semelhante à ideia do teste da razão. Também vem de um reexame da série geométrica
\begin{gather*}
\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty a r^n
\end{gather*}
O teste da razão foi baseado na observação de que \(r\text{,}\) que determina em grande parte se a série converge ou não, pode ser encontrada calculando a razão \(r = a_{n+1}/a_n\text{.}\) O teste de raiz é baseado na observação de que \(|r|\) também pode ser determinado observando que a raiz \(n\)-ésima do \(n\) -ésimo termo para \(n\) grande:
\begin{equation*}
\lim_{n\to\infty}\root{n}\of{\big|ar^n\big|}
=|r|\lim_{n\to\infty}\root{n}\of{\big|a\big|}
=|r|\qquad\text{se $a\ne 0$}
\end{equation*}
É claro que, em geral, o \(n\)-ésimo termo não é exatamente \(ar^n\text{.}\) No entanto, se para \(n\) muito grande, o \(n\)-ésimo termo é aproximadamente proporcional a \(r^n\text{,}\) com \(|r|\) dado pelo limite acima, esperaríamos que a série convergisse quando \(|r| \lt 1\) e divergem quando \(|r| \gt
1\text{.}\) Esse é realmente o caso.
Teorema 1.26. Teste da Raiz.
Assuma que
\begin{equation*}
L = \lim_{n\to\infty}\root{n}\of{\big|a_n\big|}
\end{equation*}
exista ou é \(+\infty\text{.}\)
- Se \(L \lt 1\text{,}\) então \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) converge.
- Se \(L \gt 1\text{,}\) ou \(L=+\infty\text{,}\) então \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) diverge.
Atenção 1.27.
Observe que o teste de raiz não fornece absolutamente nenhuma conclusão sobre a convergência ou divergência da série \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) se \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\root{n}\of{\big|a_n\big|} = 1\text{.}\)
Demonstração.
(a) Escolha qualquer \(R\) satisfazendo \(L \lt R \lt 1\text{.}\) Assumindo que \(\root{n}\of{|a_n|}\) está próximo de \(L\) quando \(n\rightarrow\infty\text{.}\) Em particular, existe algum número natural \(M\) tal que \(\root{n}\of{|a_n|}\le R\) para todo \(n\ge M\text{.}\) Assim, \(|a_n|\le R^n\) para todo \(n\ge
M\) e a série \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) converge por comparação com a série geométrica \(\sum\limits_{n=1}^\infty R^n\text{.}\)
(b) Assumindo que \(\root{n}\of{|a_n|}\) está próximo de \(L \gt 1\) (ou cresce arbitrariamente) quando \(n\rightarrow\infty\text{.}\) Em particular, existe algum numéro natural \(M\) tal que \(\root{n}\of{|a_n|}\ge 1\) para todo \(n\ge M\text{.}\) Logo, \(|a_n|\ge 1\) para todo \(n\ge M\) e a série diverge pelo Teste da Divergência.
Exemplo 1.28. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{ (-3)^n \sqrt{n+1}}{2n+3}x^n\).
Vamos mostrar que está série converge quando \(|x| \lt \frac{1}{3}\) e diverge quando \(|x| \gt \frac{1}{3}\text{.}\)
Solução.
Escreva \(a_n= \frac{ (-3)^n \sqrt{n+1}}{2n+3}x^n\text{.}\) Vamos calcular
\begin{align*}
\root{n}\of{|a_n|}
&= \root{n}\of{ \bigg|\frac{ (-3)^n \sqrt{n+1}}{2n+3}x^n\bigg|}\\
&= 3 |x|\big(n+1\big)^{\frac{1}{2n}} \big(2n+3)^{-\frac{1}{n}}
\end{align*}
Vamos agora mostrar que o limite de \(\big(n+1\big)^{\frac{1}{2n}}\) quando \(n\to\infty\) é exatamente \(1\text{.}\) Para fazer isso, primeiro calculamos o limite do logaritmo.
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\log \big(n+1\big)^{\frac{1}{2n}}
&=\lim_{n\to\infty}\frac{\log \big(n+1\big)}{2n}
\qquad\amp\ctm{\lim_{n\to\infty}f(n)=\lim_{n\to\infty}f(t)\quad t\in\mathbb{R}}\\
&=\lim_{t\to\infty}\frac{\log \big(t+1\big)}{2t}\\
&=\lim_{t\to\infty}\frac{\frac{1}{t+1}}{2} \qquad&\text{Por L'Hôpital}\\
&=0
\end{align*}
Logo,
\begin{gather*}
\lim_{n\to\infty}\big(n+1\big)^{\frac{1}{2n}}
=\lim_{n\to\infty}\exp\big\{\log \big(n+1\big)^{\frac{1}{2n}}\big\}
= e^0=1
\end{gather*}
Um cálculo essencialmente idêntico fornece \(\lim_{n\to\infty}\big(2n+3)^{-\frac{1}{n}} = e^0=1\text{.}\) Dessa forma,
\begin{gather*}
\lim_{n\to\infty}\root{n}\of{|a_n|}
= 3 |x|
\end{gather*}
e o Teste da Raiz também fornece que se \(3|x| \gt 1\) a série diverge, enquanto quando \(3|x| \lt
1\) a série converge.
No exemplo a seguir exemplificaremos um caso em que usar o Teste da Raiz é mais simples do que o Teste da Razão.
Exemplo 1.29. \(\sum_{n=1}^\infty \big(\frac{n}{n+1}\big)^{n^2}\).
Escreva \(a_n= \big(\frac{n}{n+1}\big)^{n^2}\text{.}\) Então
\begin{align*}
\root{n}\of{|a_n|}
&= \root{n}\of{ \Big(\frac{n}{n+1}\Big)^{n^2}}
= \Big(\frac{n}{n+1}\Big)^{n}
= \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{-n}
\end{align*}
Agora calculamos o limite,
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{-n}
&=\lim_{X\to\infty}\Big(1+\frac{1}{X}\Big)^{-X}
\qquad&\ctm{\lim_{n\to\infty}f(n)=\lim_{n\to\infty}f(t)\quad t\in\mathbb{R}}\\
&=\lim_{x\to 0}\big(1+x\big)^{-1/x}
\qquad&\text{no qual $x=\frac{1}{X}$}\\
&= e^{-1}
\end{align*}
Como o limite é estritamente menor que \(1\text{,}\) a série \(\sum_{n=1}^\infty \big(\frac{n}{n+1}\big)^{n^2}\) converge.
Para chegar à mesma conclusão usando o teste da razão, seria preciso mostrar que o limite de
\begin{align*}
\frac{a_{n+1}}{a_n}
&= \Big(\frac{n+1}{n+2}\Big)^{(n+1)^2} \Big(\frac{n+1}{n}\Big)^{n^2}
\end{align*}
quando \(n\rightarrow\infty\) é estritamente menor que 1. É claramente melhor utilizar com o teste de raiz.
