Ir ao conteúdo principal

Seção 1 Equações Diferenciais Separáveis

Subseção 1.1 Separar e integrar

Definição 1.1.

Uma equação diferencial separável é uma equação para a função \(y(x)\) da forma

\begin{equation*} \diff{y}{x}(x) = f(x)\ g\big(y(x)\big) \end{equation*}

Começaremos desenvolvendo um método para resolver equações diferenciais separáveis. Para isso, normalmente suprime-se o argumento de \(y(x)\) e escreve-se a equação  1 

\begin{equation*} \diff{y}{x} = f(x)\ g(y) \end{equation*}

e resolve tal equação multiplicando/dividindo cruzadamente para obter todos os \(y\)'s, incluindo \(\dd y\) em um dos lados da equação e todos os \(x\)'s, incluindo o \(\dd x\text{,}\) no outro lado da equação.

\begin{equation*} \frac{\dee{y}}{g(y)}=f(x)\,\dee{x} \end{equation*}

(Assumimos que \(g(y)\) é diferentre de zero.) Integrando ambos os lados

\begin{gather} \int\frac{\dee{y}}{g(y)}=\int f(x)\,\dee{x}\tag{✶} \end{gather}

De fato — \(\diff{y}{x}\) não é uma fração. Mas agora veremos que a resposta ainda está correta. Este procedimento é simplesmente um dispositivo para ajudá-lo a lembrar dessa resposta.   (✶).

  • Nosso objetivo é encontrar todas as funções \(y(x)\) que satisfazem \(\diff{y}{x}(x) = f(x)\ g\big(y(x)\big)\text{.}\)

  • Assumindo que \(g\) é diferente de zero,

    \begin{align*} y'(x) = f(x)\ g(y(x)) \amp \iff \frac{y'(x)}{g(y(x))}=f(x)\iff \int\frac{y'(x)}{g(y(x))}\,\dee{x}= \int f(x)\,\dee{x}\\ \amp \iff \int\frac{\dee{y}}{g(y)}\bigg|_{y=y(x)}= \int f(x)\,\dee{x}\\ \amp\hskip0.5in \text{com a substituição }y=y(x), \dee y = y'(x)\,\dee{x} \end{align*}

  • E chegamos novamente em (✶) again.

O problema de valor inicial de uma equação separável tem a forma

\begin{equation*} \diff{y}{x}(x) = f(x)\ g\big(y(x)\big)\qquad y(x_0)=y_0 \end{equation*}

no qual \(f(x)\) e \(g(y)\) são funções e \(x_0\) e \(y_0\) são números reais. É resolvido primeiro usando o método acima para encontrar a solução geral para a equação diferencial, incluindo a constante arbitrária \(C\text{,}\) e então usamos a initial condition \(y(x_0)=y_0\) para determinar o valor de \(C\text{.}\) Veremos exemplos disso mais adiante.

Enontre todas as soluções para a equação

\begin{equation*} \diff{y}{x} = xe^{-y} \end{equation*}
Solução.

A equação diferencial é separável. Começamos pela multiplicação cruzada para mover todos os \(y\)'s para o lado esquerdo e todos os \(x\)'s para o lado direito.

\begin{equation*} e^y\,\dee{y} = x\,\dee{x} \end{equation*}

Então nós integramos ambos os lados

\begin{equation*} \int e^y\dee{y} = \int x\dee{x} \iff e^y = \frac{x^2}{2}+C \end{equation*}

O \(C\) no lado direito contém tanto a constante arbitrária para a integral indefinida \(\int e^y\dee{y}\) quanto a constante arbitrária para a integral indefinida arbitrary constant for the indefinite integral \(\int x\dd x\text{.}\) Por fim, resolvemos para \(y\) para obter:

\begin{equation*} y(x) = \ln\Big(\frac{x^2}{2}+C\Big) \end{equation*}

Resolve o problema de valor inicial

\begin{equation*} \diff{y}{x} = xe^{-y}\qquad\text{e}\qquad y(0)=1 \end{equation*}
Solução.

Do Exemplo 1.2 sabemos que \(y(x) = \ln\big(\frac{x^2}{2}+C\big)\) resolve \(\diff{y}{x} = xe^{-y}\text{,}\) para alguma constante \(C\text{.}\) Já que queremos \(y(0)=1\) encontramos

\begin{gather*} 1=y(0)=\log\Big(\frac{x^2}{2}+C\Big)\bigg|_{x=0}=\log C \iff \log C =1 \iff C=e \end{gather*}

Então a solução desejada é \(y(x) = \ln\big(\frac{x^2}{2}+e\big)\text{.}\)

Resolva a equação diferencial \(\diff{y}{x}=y^2.\)

Solução.

Quando \(y\ne 0\text{,}\)

\begin{equation*} \diff{y}{x}=y^2 \implies \frac{\dee{y}}{y^2}=\dee{x} \implies \frac{y^{-1}}{-1}=x+C \implies y=-\frac{1}{x+C} \end{equation*}

Mas se \(y=0\text{,}\) o cálculo falha porque \(\frac{\dee{y}}{y^2}\) contém uma divisão por \(0\text{.}\) Podemos verificar se a função \(y(x)=0\) satisfaz a equação diferencial apenas subtraindo-a:

\begin{equation*} y(x)=0\implies y'(x)=0,\ y(x)^2=0\implies y'(x)=y(x)^2 \end{equation*}

Então \(y(x)=0\) é uma solução e a geral é

\begin{equation*} y(x)=0 \text{ ou } y(x)=-\frac{1}{x+C}, \text{ para qualquer constante $C$} \end{equation*}

Resolva \(\frac{\dd y}{\dd x}=\frac{x}{y} \qquad\text{e}\qquad y(4)=3.\)

Resolva \((1+x)\dd x - y\dd x=0\)

Olhe para o lado direito da equação. A dependencia de \(x\) é separada da dependência \(y\text{.}\) Essa é a razão do nome “separável”.