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Introdução às Sequências Infinitas: N1

Leon Silva

Seção 1 Introdução às Sequências

O polinômio de Taylor de \(e^x\) é dada por
\begin{align*} e^x \amp= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + E_n(x) \end{align*}
em que \(E_n(x)\) é o erro introduzido quando você aproxima \(e^x\) por seu polinômio de Taylor de grau \(n\text{.}\) No curso de derivada conhemos uma fórmula para \(E_n(x)\text{.}\) Agora vamos perguntar o que acontece quando \(n\) vai ao infinito? O erro vai para zero, dando uma fórmula exata para \(e^x\text{?}\) Veremos mais tarde que faz e isso
\begin{align*} e^x \amp=1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} \end{align*}
Neste ponto, não definimos ou desenvolvemos qualquer compreensão dessa soma infinita. Como podemos calcular a soma de um número infinito de termos? De fato, quando a soma de um número infinito de termos faz sentido? Claramente, precisamos construir bases para lidar com essas ideias. Ao longo do caminho também veremos outras funções para as quais o erro correspondente obedece \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}E_n(x)=0\) para alguns valores de \(x\) e não para outros valores de \(x\text{.}\)
Agora considere a fórmula acima com \(x=1\) para calcular o número \(e\text{:}\)
\begin{align*} e \amp= 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!} \end{align*}
Como dissemos acima, ainda não entendemos o que fazer com esse número infinito de termos, mas podemos tentar descobrir isso pensando no que acontece à medida que pegamos mais e mais termos.
\begin{align*} \text{1 termo}\phantom{s} \amp\amp 1\amp=1\\ \text{2 termos} \amp\amp 1+1\amp=2\\ \text{3 termos} \amp\amp 1+1+\frac{1}{2}\amp=2.5\\ \text{4 termos} \amp\amp 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\amp=2.666666\dots\\ \text{5 termos} \amp\amp 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6} + \frac{1}{24}\amp=2.708333\dots\\ \text{6 termos} \amp\amp 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120}\amp=2.716666\dots \end{align*}
Ao olhar para a soma infinita desta forma, obtemos naturalmente uma sequência de números
\begin{gather*} \{\ 1\,,\,2\,,\,2.5\,,\,2.666666\,,\cdots,\,2.708333\,,\cdots,\, 2.716666\,,\cdots,\,\cdots\ \}. \end{gather*}
A chave para entender a soma infinita original é entender o comportamento dessa sequências de números — em particular, o que os números fazem à medida que avançamos mais e mais? Ele estabelece um determinado limite?

Subseção 1.1 Limites de uma Sequência

A seguir uma definição matemática do termo sequências que usamos acima.

Definição 1.1.

Uma sequência é uma lista de infinitos números com uma ordem específica. Denotaremos uma sequência numérica por
\begin{equation*} \big\{a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots\big\} \quad\text{ou}\quad \big\{a_n\big\} \quad\text{ou}\quad \big\{a_n\big\}_{n=1}^\infty \end{equation*}
Frequentemente, especificamos uma sequência escrevendo-a mais explicitamente, como
\begin{gather*} \Big\{ a_n = f(n) \Big\}_{n=1}^\infty \end{gather*}
No qual \(f(n)\) é alguma função dos números naturais para os números reais.

Exemplo 1.2. Três sequências e mais uma.

Aqui estão três sequências.
\begin{align*} \amp\Big\{1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \cdots,\ \frac{1}{n},\ \cdots\Big\} \amp\amp\text{ou} \amp\amp\Big\{a_n=\frac{1}{n}\Big\}_{n=1}^\infty\\ \amp\Big\{1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n,\ \cdots\Big\} \amp\amp\text{ou} \amp\amp\Big\{a_n=n\Big\}_{n=1}^\infty\\ \amp\Big\{1,\ -1,\ 1,\ -1,\ \cdots,\ (-1)^{n-1},\ \cdots\Big\} \amp\amp\text{ou} \amp\amp\Big\{a_n=(-1)^{n-1}\Big\}_{n=1}^\infty \end{align*}
Muitas vezes não existe uma fórmula simples e explícita para o \(n\)-ésimo termo de uma sequência. Por exemplo, os dígitos decimais de \(\pi\) formam uma sequência
\begin{equation*} \big\{3,\ 1,\ 4,\ 1,\ 5,\ 9,\ 2,\ 6,\ 5,\ 3,\ 5,\ 8,\ 9,\ 7,\ 9,\ 3,\ 2,\ 3,\ 8,\ 4,\ 6,\ 2,\ 6,\ 4,\ \cdots\ \big\} \end{equation*}
porém não existe uma fórmula simples para o \(n\)-ésimo dígito.
Nossa principal preocupação com sequências será o comportamento de \(a_n\) com \(n\) tendendo para o infinito. Estamos interessados em saber se \(a_n\) converge para algum valor quando \(n\) tende ao infinito.

Definição 1.3.

Dizemos que uma sequência \(\big\{a_n\big\}_{n=1}^\infty\) converge para o limite \(L\) se \(a_n\) se aproxima de \(L\) quando \(n\) tende ao infinito. Nesta caso, escrevemos
\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty} a_n=L\qquad\hbox{ou}\qquad a_n\rightarrow L\text{ com }n\rightarrow\infty \end{equation*}
A sequência converge se converge para algum limite. Caso contrário, dizemos que a sequência diverge.
Note a similaridade com os limites infinitos.
\begin{gather*} \lim_{x \to \infty} f(x) = L \qquad\hbox{se}\qquad f(x) \to L \text{ com } x \to \infty \end{gather*}

Exemplo 1.4. Convergência no Exemplo 1.2.

(a)
\(\big\{a_n=n\big\}_{n=1}^\infty\)
Solução.
A sequência \(\big\{a_n=n\big\}_{n=1}^\infty\) diverge pois \(a_n\) cresce sem limitações, em vez de se aproximar de algum valor finito, quando \(n\) tende ao infinto.
(b)
\(\big\{a_n=(-1)^{n-1}\big\}_{n=1}^\infty\)
Solução.
A sequência \(\big\{a_n=(-1)^{n-1}\big\}_{n=1}^\infty\) diverge pois \(a_n\) oscila entre \(+1\) e \(-1\) quando \(n\) tende ao infinito.
(c)
A sequência dos dígitos decimais de \(\pi\text{.}\)
Solução.
A sequência dos dígitos decimais de \(\pi\) também diverge, embora a prova esteja fora do escorpo deste texto.  1  .
(d)
\(\left\{a_n=\frac{1}{n}\right\}^{\infty}_{n=1}\)
Solução.
Com \(n\) tendendo para o infinito, \(\frac{1}{n}\) tende para zero. Então
\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}=0 \end{equation*}

Exemplo 1.5. \(\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n+1}\).

Aqui está um exemplo um pouco menos trivial. Para estudar o comportamento de \(\frac{n}{2n+1}\) quando \(n\rightarrow\infty\text{.}\) Reescrevendo a expressão obtemos:
\begin{equation*} \frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2+\frac{1}{n}} \end{equation*}
Quando \(n\rightarrow\infty\text{,}\) o denominador \(\frac{1}{n}\) tende a zero, de modo que o denominador \(2+\frac{1}{n}\) tende para \(2\) e \(\frac{1}{2+\frac{1}{n}}\) tende para \(\frac{1}{2}\text{.}\) Então
\begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n+1} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2+\frac{1}{n}} =\frac{1}{2} \end{gather*}
Observe que noExemplo 1.5, estamos realmente usando técnicas que usamos antes para estudar limites infinitos como \(\ds \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)\text{.}\) Essa experiência pode ser facilmente transferida para lidar com limites \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\) usando o seguinte resultado.

Exemplo 1.7. \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}e^{-n}\).

Seja \(f(x)=e^{-x}\text{.}\) Então \(e^{-n}=f(n)\) e
\begin{align*} \text{já que } \lim_{x\rightarrow\infty}e^{-x}\amp=0 \amp\text{ sabemos que }\amp\amp \lim\limits_{n\rightarrow\infty}e^{-n}\amp=0 \end{align*}
A maior parte das regras para a aritmética de limites de funções conhecidas conhece também se aplicam aos limites de sequências. Ou seja, as regras aplicadas a limites como \(\ds \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)\) também se aplicam a limites como \(\ds\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\text{.}\)
Usamos essas regras para avaliar os limites de sequências mais complicadas em termos dos limites de sequências mais simples — assim como fizemos para limites de funções.

Exemplo 1.9. Aritmética dos limites.

Combinando Exemplo 1.5 eExemplo 1.7,
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\frac{n}{2n+1} + 7 e^{-n}\Big] \amp= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n+1} +\lim_{n\rightarrow\infty} 7 e^{-n} \amp \text{pelo }\knowl{./knowl/thm_SRlimarith.html}{\text{Teorema 1.8}}(\knowl{./knowl/limita.html}{\text{Item a}})\\ \amp= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n+1} +7\lim_{n\rightarrow\infty} e^{-n} \amp \text{pelo }\knowl{./knowl/thm_SRlimarith.html}{\text{Teorema 1.8}}(\knowl{./knowl/limitc.html}{\text{Item d}})\\ \end{align*}

e então usando o   Exemplo 1.5 e o Exemplo 1.7:

\begin{align*} \amp=\frac{1}{2} + 7\cdot 0\\ \amp=\frac{1}{2} \end{align*}
Há também um teorema do confronto (sanduíche) para sequências.

Exemplo 1.11. Usando o Teorema do Confronto.

Determine \(\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[1+\frac{\pi_n}{n}\Big]\text{,}\) no qual \(\pi_n\) é o \(n\)-ésimo digito decimal de \(\pi\text{.}\) Ou seja,
\begin{equation*} \pi_1=3\quad \pi_2=1 \quad \pi_3=4 \quad \pi_4=1 \quad \pi_5=5 \quad\pi_6=9\quad\cdots \end{equation*}
Não temos uma fórmula simples para \(\pi_n\text{.}\) Mas nós sabemos que
\begin{equation*} 0\le\pi_n\le 9 \implies 0 \le \frac{\pi_n}{n} \le \frac{9}{n} \implies 1 \le 1+\frac{\pi_n}{n} \le 1+\frac{9}{n} \end{equation*}
e também sabemos que
\begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty} 1 = 1\qquad \lim_{n\rightarrow\infty} \Big[1+\frac{9}{n}\Big] = 1 \end{gather*}
Então o teorema do confronto com \(a_n=1\text{,}\) \(b_n=1+\frac{\pi_n}{n}\text{,}\) e \(c_n=1+\frac{9}{n}\) fornece
\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty}\Big[1+\frac{\pi_n}{n}\Big] = 1 \end{equation*}
Finalmente, lembre-se de que podemos calcular o limite da composição de duas funções usando a continuidade. Da mesma forma, temos o seguinte resultado:

Exemplo 1.13. \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sin\frac{\pi n}{2n+1}\).

Escreva \(\sin\frac{\pi n}{2n+1}=g\big(\frac{n}{2n+1}\big)\) com \(g(x)=\sin(\pi x)\text{.}\) Vimos, no Exemplo 1.5 que
\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2}. \end{equation*}
Já que \(g(x) = \sin (\pi x)\) é contínua e que \(x=\frac{1}{2}\text{,}\) é o limite de \(\frac{n}{2n+1}\text{,}\) temos
\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sin\frac{\pi n}{2n+1} =\lim_{n\rightarrow\infty}g\Big(\frac{n}{2n+1}\Big) =g\Big(\frac{1}{2}\Big) =\sin\frac{\pi}{2} =1 \end{equation*}

Subseção 1.2 Sugestão de vídeos

Exercícios 1.3 Exercícios

1.

Determine o limite da sequência ou mostre que a sequência diverge usando as regras do limite ou teoremas apropriados. Se a sequência divergir, digite DIV como sua resposta.
\begin{equation*} a_n=\frac{2 n^2+n+2}{11 n^2-3} \end{equation*}
\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n =\)
Resposta.
\(0.181818181818182\)
Solução.
Nós temos \(a_n=f(n)\text{,}\) na qual \(f(x)=\frac{2 x^2+x+2}{11 x^2-3}\text{.}\) Assim,
\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2 n^2+n+2}{11 n^2-3} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{2 x^2+x+2}{11 x^2-3} =\frac{2}{11}. \end{equation*}

2.

Sequência definida por uma função (Theorem 1.6.)
Seja \(f(x)\) uma função definida em \([c,\infty ]\) para alguma constante \(c\text{.}\) Se \(\lim_{x\to\infty}f(x)\) existe, então a sequência \(a_n=f(n)\text{,}\) definida para \(n\geq c\text{,}\) converge e
\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{x\to\infty}f(x) \end{equation*}
Use a afirmação acima para determinar o limite da sequência ou digite DIV se a sequência divergir.
\(a_n=2\)
\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n =\)
Resposta.
\(2\)
Solução.
Temos \(a_n=f(n)\) no qual \(f(x)=2\text{.}\) Assim,
\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{x\to\infty}f(x) = \lim_{x\to\infty}2= 2 \end{equation*}

3.

Determine o limite da sequência ou mostre que a sequência diverge usando as regras do limite ou teoremas apropriados. Se a sequência divergir, digite DIV como sua resposta.
\begin{equation*} c_n=\ln\left(\frac{4 n-7}{2 n+4}\right) \end{equation*}
\(\lim\limits_{n\to\infty}c_n =\)
Resposta.
\(0.693147180559945\)
Solução.
Do fato da função \(f(x)=\ln x\) ser contínua segue que
\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty} c_n = \lim_{x\rightarrow \infty}\ln\left(\frac{4 x-7}{2 x+4}\right)=\ln\left(\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{4 x-7}{2 x+4}\right)=\ln \left(\frac{4}{2}\right). \end{equation*}

4.

Seja \(a_n=\frac{n+1}{n+4}\text{.}\) Encontre o menor número \(M\) tal que :
(a) \(|a_n-1|\le 0.001\) para \(n\ge M\)
\(M=\)
(b) \(|a_n-1|\le 0.00001\) para \(n\ge M\)
\(M=\)
(c) Agora use a definição de limite para provar que \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=1\text{.}\) Ou seja, encontre o menor valor de \(M\) (em termos de \(t\)) tal que \(\left|a_n-1\right|\lt t\) para todo \(n>M\text{.}\)
(Observe que estamos usando \(t\) em vez de \(\epsilon\) na definição para permitir que você insira sua resposta mais facilmente).
\(M=\) Digite sua resposta em função de \(t\)).
Resposta 1.
\(2996\)
Resposta 2.
\(299996\)
Resposta 3.
\(\frac{3}{t}-4\)
Solução.
Temos
\begin{equation*} \left|a_n-1\right|=\left|\frac{n+1}{n+4}-1\right|=\left|\frac{n+1-\left(n+4\right)}{n+4}\right|=\left|\frac{-3}{n+4}\right|=\frac{3}{n+4} \end{equation*}
Portanto, \(|a_n-1|\le 0.001\) forneceu \(\frac{3}{n+4}\le 0.001\text{,}\) ou seja, \(n\ge 2996\text{.}\) Segue-se que podemos tomar \(M=2996\text{.}\)
Pela parte (a), \(|a_n-1|\le 0.00001\) forneceu \(\frac{3}{n+4}\le 0.00001\text{,}\) ou seja, \(n\ge 299996\text{.}\) Segue-se que podemos tomar \(M=299996\text{.}\)
Usando a parte (a), sabemos que
\begin{equation*} |a_n-1|=\frac{3}{n+4}\lt t, \end{equation*}
forneceu \(n>\frac{3}{t}-4\text{.}\) Assim, para completar a prova, seja \(t>0\) e faça\(M=\frac{3}{t}-4\text{.}\) Então, para \(n>M\text{,}\) obtemos
\begin{equation*} |a_n-1|=\frac{3}{n+4}\lt \frac{3}{M+4}=t. \end{equation*}

5.

Determine se a sequência \(\displaystyle a_n = \frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + \cdots + \frac{n^2}{n^3}\) converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Observe,
\begin{equation*} \sum_{i=1}^k i^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \end{equation*}
Converge (sim/não):
Limite:
Resposta 1.
sim
Resposta 2.
\(0.333333333333333\)

6.

Determine se a sequência é divergente ou convergente. Se for convergente, avalie seu limite.
(Se divergir para o infinito, indique sua resposta como inf . Se divergir para infinito negativo, indique sua resposta como -inf . Se diverge sem ser infinito ou infinito negativo, responda como div)
\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty} (-1)^n\sin(14/n) \end{equation*}
Resposta:
Resposta.
\(0\)

7.

Escreva os cinco primeiros termos da sequência com, \(\left[{\left(1-\frac{6}{n+6}\right)^{n}}\right]_{n=1}^{\infty}\text{,}\) determine se a sequência converge e, em caso afirmativo, encontre seu limite.
Enter the following information for \(a_n=\left(1-\frac{6}{n+6}\right)^{n}\text{.}\)
\(a_1=\)
\(a_2=\)
\(a_3=\)
\(a_4=\)
\(a_5=\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{6}{n+6}\right)^{n} =\)
(Digite DNE se o limite não existir.)
A sequência converge (Digite "sim" ou "não").
Resposta 1.
\(\left(1-\frac{6}{1+6}\right)^{1}\)
Resposta 2.
\(\left(1-\frac{6}{2+6}\right)^{2}\)
Resposta 3.
\(\left(1-\frac{6}{3+6}\right)^{3}\)
Resposta 4.
\(\left(1-\frac{6}{4+6}\right)^{4}\)
Resposta 5.
\(\left(1-\frac{6}{5+6}\right)^{5}\)
Resposta 6.
\(e^{-6}\)
Resposta 7.
\(\text{sim}\)
Solução.
Para \(a_n=\left(1-\frac{6}{n+6}\right)^{n}\)
\(a_1={\textstyle\frac{1}{7}}\)
\(a_2={\textstyle\frac{1}{16}}\)
\(a_3={\textstyle\frac{1}{27}}\)
\(a_4={\textstyle\frac{16}{625}}\)
\(a_5={\textstyle\frac{3125}{161051}}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{6}{n+6}\right)^{n} =\lim_{n\to\infty} e^{n\ln\!\left(1-\frac{6}{n+6}\right)} =e^{\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\ln\!\left(\frac{n}{n+6}\right)}{\frac{1}{n}} }=e^{\displaystyle\lim_{n\to\infty} -\frac{\frac{6}{n\!\left(n+6\right)}}{\frac{1}{n^{2}}} } =e^{\displaystyle\lim_{n\to\infty} -\frac{6}{1+\frac{6}{n}} }= e^{-6}\text{,}\) então a sequência converge para \(e^{-6}\text{.}\)

8.

Escreva os cinco primeiros termos da sequência \(\left[{\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\left(n+6\right)^{2}}}\right]_{n=1}^{\infty}\text{,}\)determine se a sequência converge e, em caso afirmativo, encontre seu limite.
Insira as seguintes informações para \(a_n=\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\left(n+6\right)^{2}}\text{.}\)
\(a_1=\)
\(a_2=\)
\(a_3=\)
\(a_4=\)
\(a_5=\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\left(n+6\right)^{2}} =\)
(Digite DNE se o limite não existir.)
A sequência converge (Digite "sim" ou "não").
Resposta 1.
\(\frac{\left(-1\right)^{1+-1}}{\left(1+6\right)^{2}}\)
Resposta 2.
\(\frac{\left(-1\right)^{2+-1}}{\left(2+6\right)^{2}}\)
Resposta 3.
\(\frac{\left(-1\right)^{3+-1}}{\left(3+6\right)^{2}}\)
Resposta 4.
\(\frac{\left(-1\right)^{4+-1}}{\left(4+6\right)^{2}}\)
Resposta 5.
\(\frac{\left(-1\right)^{5+-1}}{\left(5+6\right)^{2}}\)
Resposta 6.
\(0\)
Resposta 7.
\(\text{sim}\)
Solução.
Para \(a_n=\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\left(n+6\right)^{2}}\)
\(a_1={\textstyle\frac{1}{49}}\)
\(a_2=-{\textstyle\frac{1}{64}}\)
\(a_3={\textstyle\frac{1}{81}}\)
\(a_4=-{\textstyle\frac{1}{100}}\)
\(a_5={\textstyle\frac{1}{121}}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\left(n+6\right)^{2}} =0\) então a sequência converge para \(0\text{.}\)

9.

Escreva os primeiros cinco termos da sequência com \(\left[{\left(\frac{n+9}{n+8}\right)^{n}}\right]_{n=1}^{\infty}\text{,}\) determine se a sequência converge e, em caso afirmativo, encontre seu limite.
Insira as seguintes informações para \(a_n=\left(\frac{n+9}{n+8}\right)^{n}\text{.}\)
\(a_1=\)
\(a_2=\)
\(a_3=\)
\(a_4=\)
\(a_5=\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+9}{n+8}\right)^{n} =\)
(Digite DNE se o limite não existir.)
A sequência converge (Digite "sim" ou "não").
Resposta 1.
\(\left(\frac{1+9}{1+8}\right)^{1}\)
Resposta 2.
\(\left(\frac{2+9}{2+8}\right)^{2}\)
Resposta 3.
\(\left(\frac{3+9}{3+8}\right)^{3}\)
Resposta 4.
\(\left(\frac{4+9}{4+8}\right)^{4}\)
Resposta 5.
\(\left(\frac{5+9}{5+8}\right)^{5}\)
Resposta 6.
\(e^{9-8}\)
Resposta 7.
\(\text{sim}\)
Solução.
Para \(a_n=\left(\frac{n+9}{n+8}\right)^{n}\)
\(a_1={\textstyle\frac{10}{9}}\)
\(a_2={\textstyle\frac{121}{100}}\)
\(a_3={\textstyle\frac{1728}{1331}}\)
\(a_4={\textstyle\frac{28561}{20736}}\)
\(a_5={\textstyle\frac{537824}{371293}}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+9}{n+8}\right)^{n} =\lim_{n\to\infty} e^{n\ln\!\left(\frac{n+9}{n+8}\right)} =e^{\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\ln\!\left(\frac{n+9}{n+8}\right)}{\frac{1}{n}} }=e^{\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{-1}{\left(n+9\right)\!\left(n+8\right)}}{\frac{-1}{n^{2}}} } =e^{\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{9}{n}\right)\!\left(1+\frac{8}{n}\right)} }=e\text{,}\) então a sequência converge para \(e\text{.}\)

10.

Escreva os primeiros cinco termos da sequência com, \(\left[{\frac{\ln\!\left(n\right)}{n+1}}\right]_{n=1}^{\infty}\text{,}\) determine se a sequência converge e, em caso afirmativo, encontre seu limite.
Insira as seguintes informações para \(a_n=\frac{\ln\!\left(n\right)}{n+1}\text{.}\)
\(a_1=\)
\(a_2=\)
\(a_3=\)
\(a_4=\)
\(a_5=\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\ln\!\left(n\right)}{n+1} =\)
(Digite DNE se o limite não existir.)
A sequência converge (Digite "sim" or "não").
Resposta 1.
\(0\)
Resposta 2.
\(\frac{\ln\!\left(2\right)}{2+1}\)
Resposta 3.
\(\frac{\ln\!\left(3\right)}{3+1}\)
Resposta 4.
\(\frac{\ln\!\left(4\right)}{4+1}\)
Resposta 5.
\(\frac{\ln\!\left(5\right)}{5+1}\)
Resposta 6.
\(0\)
Resposta 7.
\(\text{yes}\)
Solução.
Para \(a_n=\frac{\ln\!\left(n\right)}{n+1}\)
\(a_1=\frac{\ln{1}}{2}=0\)
\(a_2=\frac{\ln{2}}{3}\)
\(a_3=\frac{\ln{3}}{4}\)
\(a_4=\frac{\ln{4}}{5}\)
\(a_5=\frac{\ln{5}}{6}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\ln\!\left(n\right)}{n+1} =\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} =0\) então a sequência converge para \(0\text{.}\)
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