Cálculo Diferencial: N3

Subseção 1.1 Continuidade

Vimos que calcular os limites de algumas funções — polinômios e funções racionais — é muito fácil porque

Ou seja, o limite quando \(x\) se aproxima de \(a\) é apenas \(f(a)\text{.}\) Sem entrar em detalhes, podemos calcular o limite dessa maneira já que essas funções não têm saltos abruptos perto de \(a\text{.}\)

Muitas outras funções têm esta propriedade, \(\sin(x)\) por exemplo. Uma função com esta propriedade é chamada contínua e existe uma definição matemática precisa para ela.

Se uma função não é contínua em \(a\) então dizemos que ela é descontínua em \(a\text{.}\) Quando \(f\) é contínua em todos os pontos dizemos simplesmente que \(f\) é contínua, sem especificar o ponto. Quando escrevemos que \(f(x)\) é contínua no intervalo aberto \((a,b)\) então a função é contínua em todo ponto \(c \in (a,b)\text{.}\)

Subseção 1.2 Continuidade laterais

Observe que na Definição 1.1 evitamos dizer qualquer coisa sobre se a função é ou não contínua nas extremidades do intervalo, ou seja é \(f(x)\) contínuo em \(x=a\) ou \(x=b\text{.}\) Isso porque falar de continuidade nas extremidades de um intervalo pode ser um pouco delicada.

Em muitas situações nos será dada uma função \(f(x)\) definida em um intervalo fechado \([a,b]\text{.}\) Por exemplo, podemos ter:

Para qualquer \(0 \leq x \leq 1\) sabemos o valor de \(f(x)\text{.}\) Entretanto, para \(x \lt 0\) ou \(x \gt 1\) não sabemos nada sobre a função — na verdade ela não foi definida.

Agora, considere o que significa \(f(x)\) ser contínuo em \(x=0\text{.}\) Precisamos ter

no entanto, isso implica que os limites laterais

Agora, o primeiro desses limites laterais envolve examinar o comportamento de \(f(x)\) para \(x \gt 0\text{.}\) Como isso envolve olhar para os pontos para os quais \(f(x)\) está definido, isso é algo que podemos fazer. Por outro lado, o segundo limite lateral exige que entendamos o comportamento de \(f(x)\) para \(x \lt 0\text{.}\) Isso não podemos fazer porque a função não foi definida para \(x \lt 0\text{.}\)

Uma maneira de contornar esse problema é generalizar a ideia de continuidade para continuidade lateral, da mesma forma que fizemos para obter limites laterais.

Usando a definição de continuidade lateral, podemos agora definir o que significa uma função ser contínua em um intervalo fechado.

No que as condições apresentadas na Definição 1.7 são equivalentes a:

Subseção 1.3 Mais exemplos sobre continuidade

Estude a continuidade da função

\begin{align*} f(x) \amp= \begin{cases} x\amp x \lt 1 \\ x+2 \amp x\geq 1 \end{cases} \end{align*}

Solução.

Quando \(x \lt 1\) então \(f(x)\) é uma reta (e, portanto, um polinômio) e; logo, é contínua em todos os pontos \(x \lt 1\text{.}\) Da mesma forma, quando \(x \gt 1\) a função é uma reta e, portanto, é contínua em todos os pontos \(x \gt 1\text{.}\) O único ponto que pode ser uma descontinuidade é em \(x=1\text{.}\) Note que os limites laterais são diferentes. Portanto, o limite em \(x=1\) não existe e, consequentemente, a função é descontínua em \(x=1\text{.}\)

Estude a continuidade da função

\begin{align*} g(x) \amp= \begin{cases} \tfrac{1}{x^2}\amp x\neq 0 \\ 0 \amp x=0\end{cases} \end{align*}

Solução.

Observe que quando \(x \neq 0\) o \(g(x)\) é uma função racional e, portanto, é contínua em todos os pontos de seu domínio (que são todos os reais exceto \(x=0\)). Assim, o único ponto em que \(g(x)\) pode ser descontínuo é em \(x=0\text{.}\) Note que nenhum dos limites laterais existe em \(x=0\text{,}\) então o limite não existe em \(x=0\text{.}\) Portanto, a função é descontínua em \(x=0\text{.}\)

Estude a continuidade da função

\begin{align*} h(x) \amp= \begin{cases}\frac{x^3-x^2}{x-1} \amp x\neq 1 \\ 0 \amp x=1 \end{cases} \end{align*}

Solução.

Esse caso é similar aos anteriores. Note que para \(x \neq 1\) \(h(x)\) é uma função racional, e portanto, contínua. Resta verificar o caso em \(x=1\text{.}\) Por definição de \(h(x)\text{,}\) \(h(1) = 0\text{.}\) Vamos calcular o limite quando \(x\to 1\) e depois verificar se está de acordo com a Definição 1.1. Para isso,

\begin{align*} \frac{x^3-x^2}{x-1} \amp= \frac{x^2(x-1)}{x-1} = x^2 \end{align*}

Então \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^3-x^2}{x-1} = \lim_{x \to 1} x^2 = 1\neq h(1)\text{.}\) Portanto, \(h\) é descontínua em \(x=1\text{.}\)

Os Exemplo 1.12–1.16 ilustram diferentes tipos de descontinuidade.

• A função \(f(x)\) tem uma “descontinuidade de salto” porque a função “salta” de um valor finito à esquerda para outro valor à direita.

• A função \(g(x)\text{,}\) tem o que chamamos de “descontinuidade infinita” uma vez que \(\displaystyle\lim\limits_{x\to 0} f(x) =+\infty\text{.}\)

• A função \(h(x)\text{,}\) tem uma “descontinuidade removível” porque podemos tornar a função contínua nesse ponto redefinindo a função nesse ponto. Ou seja, definindo \(h(1)=1\text{.}\) Isto é,

  \begin{align*} h(x) \amp= \begin{cases} \frac{x^3-x^2}{x-1} \amp x\neq 1\\ 1 \amp x=1 \end{cases} \end{align*}

Mostrar que uma função é contínua pode ser trabalhoso, mas assim como as regras de limite nos ajudam a calcular limites complicados em termos de limites mais simples, podemos usá-las para mostrar que funções complicadas são contínuas dividindo-as em partes mais simples.

Subseção 1.4 Propriedades das funções contínuas

Acima afirmamos que polinômios e funções racionais são contínuas (tendo cuidado com domínios de funções racionais — devemos evitar que os denominadores sejam zero) nossos próximos passos tem a intenção de formalizar estas afirmações.

Agora, como podemos obter qualquer polinômio e qualquer função racional adicionando, subtraindo, multiplicando e dividindo cuidadosamente as funções \(f(x)=x\) e \(g(x)=c\text{,}\) o Lema 1.19 acima combinado com o Teorema 1.18 para nos dar o resultado que queremos:

Com um pouco mais de trabalho, esse resultado pode ser estendido para tipos mais amplos de funções:

Usando uma combinação dos resultados acima, você pode mostrar que muitas funções complicadas são contínuas, exceto em alguns pontos (geralmente onde o denominador é igual a zero).

Outra forma de combinar as funções contínuas \(f\) e \(g\) para obter novas funções contínuas é formar a função composta \(f\circ g\text{.}\)

Em outras palavras, o Teorema 1.26 diz que: se \(g\) é contínua em \(a\) e \(f\) é contínua em \(g(a)\) então a função composta \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) é contínua em \(a\text{.}\) Então, quando compomos duas funções contínuas, obtemos uma nova função contínua.

Indique onde as seguintes funções são contínuas.

(a)

\(f(x) = \sin\left( x^2 +\cos(x) \right)\)

Solução.

Nosso primeiro passo deve ser quebrar as funções em partes e estudá-las. Quando os juntarmos novamente, devemos tomar cuidado para não dividir por zero, ou cair fora do domínio. A função \(f(x)\) é a composição de \(\sin(x)\) com \(x^2+\cos(x)\text{.}\) Cada um desses termos, \(\sin(x), x^2\) e \(\cos(x)\) são funções contínuas. Portanto, a soma \(x^2+\cos(x)\) é contínua. E, portanto, a composição de \(\sin(x)\) e \(x^2+\cos(x)\) é contínua em todos os reais.

(b)

\(g(x) = \sqrt{\sin(x)}\)

Solução.

A função \(g(x)\) é a composição de \(\sqrt{x}\) com \(\sin(x)\text{.}\) Observe que \(\sqrt{x}\) é contínuo em seu domínio \(x \geq 0\) e que \(\sin(x)\) é contínua, mas é negativo em muitos lugares (ver Figura 1.28). Para que \(g(x)\) seja definido e contínuo, devemos restringir \(x\) para que \(\sin(x) \geq 0\text{.}\)

Portanto, \(\sin(x)\geq 0\) quando \(x\in[0,\pi]\) ou \(x\in [2\pi,3\pi]\) ou \(x\in[-2\pi,-\pi]\) ou…. Para ser mais preciso, \(\sin(x)\) é positivo quando \(x \in [2n\pi,(2n+1)\pi]\) para qualquer inteiro \(n\text{.}\) Portanto, \(g(x)\) é contínua quando \(x \in [2 n\pi,(2n+1)\pi]\) para qualquer número inteiro \(n\) .

Subseção 1.5 Sugestão de Vídeos

• Tipos de descontinuidade.¹

• Continuidade em um ponto.²

• Problema resolvido (gráfico).³

• A função \(g(x)=\begin{cases}\log{3x} \, \text{ se }\, 0\lt x \lt 3 \\ (4-x)\log{9}\, \text{ se } \, x\geq 3\end{cases}\) é contínua em 3?⁴

• A função \(g(x)=\begin{cases}\ln{x} \, \text{ se }\, 0\lt x \geq 2 \\ x^2\ln{x}\, \text{ se } \, x\gt 2\end{cases}\) é contínua em 2?.⁵

• Continuidade em um intervalo.⁶

• As funções \(e^x\) e \(\sqrt{x}\) são contínuas em todos os números reais?⁷

• Quais das funções \(\ln{(x-3)}\) e \(e^{x-3}\) são contínuas em \(x=3\) ?⁸

Subseção 1.6 Localizando zeros de funções

Funções contínuas são muito boas (matematicamente falando). As funções do “mundo real” tendem a ser contínuas (embora nem sempre). O aspecto chave que os torna bons é o fato de que eles não “saltam”.

A ausência de tais saltos leva ao seguinte teorema que, embora possa ser bastante confuso à primeira vista, na verdade diz algo muito natural — até óbvio. Ele diz, a grosso modo, que, à medida que você desenha o gráfico \(y=f(x)\) começando em \(x=a\) e terminando em \(x=b\text{,}\) \(y\) muda continuamente de \(y=f(a)\) para \(y=f(b)\text{,}\) sem saltos e, consequentemente, \(y\) deve assumir todos os valores entre \(f(a)\) e \(f(b)\) pelo menos uma vez.

Teorema 1.29. Teorema do Valor Intermediário (TVI).

Seja \(a \lt b\) e seja \(f\) uma função contínua em \(a\leq x \leq b\text{.}\) Se \(d\) é um valor qualquer entre \(f(a)\) e \(f(b)\) então existe algum número \(c \in [a, b]\) tal que \(f(c) = d\text{.}\)

O Teorema 1.29 diz que se \(f(x)\) é uma função contínua em todo o intervalo \(a \leq x \leq b\) então como \(x\) se move de \(a\) a \(b\text{,}\) \(f(x)\) assume todos os valores entre \(f(a)\) e \(f (b)\) pelo menos uma vez. Em outras palavras, se \(f\) não alcançar um valor entre \(f(a)\) e \(f(b)\) então \(f\) não pode ser contínuo em \([a,b]\text{.}\)

Não é difícil se convencer de que a continuidade do \(f\) é crucial para o TVI 1.29 . Sem ele pode-se construir rapidamente exemplos de funções que contradizem o teorema. Veja a figura abaixo para alguns exemplos não contínuos:

No gráfico da esquerda, vemos que uma função descontínua pode “saltar” sobre o valor \(Y\) que escolhemos, então não há valor de \(x\) que implique em \(f(x)=Y\text{.}\) O gráfico da direita demonstra por que precisamos ter cuidado com as extremidades do intervalo. Em particular, uma função deve ser contínua em todo o intervalo \([a,b]\) incluindo os extremos do intervalo. Se apenas exigíssemos que a função fosse contínua em \((a,b)\) (tão estritamente entre \(a\) e \(b\)), então a função poderia “pular” sobre o valor \(Y\) em \(a\) ou \(b\text{.}\)

Mostre que existe uma raiz da equação

\begin{equation*} 4x^3-6x^2+3x-2=0 \end{equation*}

entre \(1\) e \(2\text{.}\)

Solução.

Seja \(f(x)=4x^3-6x^2+3x-2 \text{.}\) Para resolver o problema devemos encontrar um número \(c\) entre \(1\) e \(2\) tal que \(f(c)=0\text{.}\) Portanto, para se adequar ao TVI 1.29, vamos tomar \(a=1\) e \(b=2\) e \(d=0\text{.}\) Contudo,

\begin{equation*} f(1) =4-6+3-2=-1\lt 0 \end{equation*}

e

\begin{equation*} f(2)= 32-24+6-2=12\gt 0. \end{equation*}

Logo, \(f(1)\lt 0\lt f(2)\text{,}\) ou seja, \(d=0\) é um número entre \(f(1)\) e \(f(2)\text{,}\) como queríamos. Agora, já que \(f\) é contínua (pois é um polinômio), o Teorema do Valor Intermediário (TVI) afirma que existe um número \(c\) entre \(1\) e \(2\) tal \(f(c)=0\text{.}\) Ou seja, a equação \(4x^3-6x^2+3x-2=0\) tem pelo menos uma raiz \(c\) em \((1, 2)\text{.}\) A Figura 1.31 contribui com o resultado obtido.

Subseção 1.7 Sugestão de vídeos

• Entendendo o Teorema do Valor Intermediário⁹

• Usando o Teorema do Valor Intermediário¹⁰

• Encontrando zeros de funções¹¹