Cálculo Diferencial: N2

Subseção 1.1 Limites básicos

Começamos com o limite de duas funções muito simples: uma função constante e uma função linear.

O Teorema 1.1 acima mostra que os limites interagem muito simplesmente com a aritmética. Se você for solicitado a encontrar o limite de uma soma, a resposta é apenas a soma dos limites. Da mesma forma, o limite de uma funções multiplicada por uma contante é apenas o produto entre a constante e o limite. Assim como, o limite de um quociente é o quociente dos limites (desde que o limite do denominador não seja zero).

Subseção 1.2 Sugestão de vídeos

• Propriedades dos limites.¹

• Usando o gráficos para calcular \(\lim\limits_{x\to 0}f(x)h(x)\) .²

• Limite de funções definidas por partes.³

• Outra sobre limite de funções definidas por partes.⁴

• Calculando \(\lim\limits_{x\to 3^-}\dfrac{|x-3|}{x-3}\) e \(\lim\limits_{x\to 3^+}\dfrac{|x-3|}{x-3} \text{.}\)⁵

Subseção 1.3 Limites das funções racionais

Devemos ter cuidado ao calcular o limite de um quociente — que é o quociente dos limites, exceto quando o limite do denominador é zero. Quando o limite do denominador é zero o Teorema 1.1 não se aplica, e algumas das possibilidadez a seguir podem acontecer:

1. Se o limite do numerador for diferente de zero, o limite do quociente não existe. Então:

   • Se ambos limites laterais (de \(\frac{f(x)}{g(x)}\) ) são \(+\infty\) escrevemos \(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =+\infty\) (ver Figura 1.7).

   • Se ambos limites laterais (de \(\frac{f(x)}{g(x)}\) ) são \(-\infty\) escrevemos \(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =-\infty\) (ver Figura 1.8).

   • Se um dos limites laterais (de \(\frac{f(x)}{g(x)}\) ) for \(+\infty\) e outro for \(-\infty\) simplesmente dizemos que o limite não existe (ver Figura 1.9).

2. Se o limite do numerador for zero, então o Teorema 1.1 não nos dá informações suficientes para decidir se o limite existe ou não. É possível que

   • O limite não exista, como é o caso do \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x}\text{.}\)

   • O limite é \(\pm \infty\text{,}\) como são os casos do \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x^2}{x^4} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{x^2} = +\infty\) ou do \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-2x^2}{x^4} = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{-2}{x^2} = -\infty\) (ver Figura 1.8).

   • O limite é zero, como por exemplo \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2}{x} = 0\text{.}\)

   • O limite existe e é diferente de zero, como por exemplo \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{x} = 1\text{.}\)

Determine os limites.

(a)

Determine \(\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x-3}{x^2+5x-6}\text{.}\)

Solução.

Como esse é o limite de uma razão, calculamos o limite do numerador e do denominador separadamente. Começaremos pelo numerador:

\begin{align*} \lim\limits_{x \to 2} 2x-3 \amp= \left( \lim\limits_{x \to 2} 2x \right) - \left( \lim\limits_{x \to 2} 3 \right) \amp\ct{Diferença de limites}\,\\ \amp= 2 \cdot \left( \lim\limits_{x \to 2} x \right) -3 \amp \ct{Produto de limites e limite de uma constante}\,\\ \amp= 2 \cdot 2 -3 \amp \ct{limite de $x$}\,\\ \amp= 1 \end{align*}

Agora é a vez do denominador:

\begin{align*} \lim\limits_{x \to 2} x^2+5x-6 \amp= \left( \lim\limits_{x \to 2} x^2 \right) + \left( \lim\limits_{x \to 2} 5x \right) - \left( \lim\limits_{x \to 2} 6 \right) \amp \!\!\!\!\!\!\ct{soma de limites}\,\\ \amp= \left( \lim\limits_{x \to 2} x \right)\cdot \left( \lim\limits_{x \to 2} x \right) + 5 \cdot \left( \lim\limits_{x \to 2} x \right) - 6 \amp\ct{Produto de limites e limite de uma constante}\,\\ \amp= 2 \cdot 2 + 5 \cdot 2 - 6 \amp \ct{limite de $x$}\,\\ \amp= 8 \end{align*}

Como o limite do denominador é diferente de zero, podemos obter nosso resultado tomando o quociente dos limites separados.

\begin{align*} \lim\limits_{x \to 2} \frac{2x-3}{x^2+5x-6} \amp= \frac{ \lim\limits_{x \to 2} 2x-3}{ \lim\limits_{x \to 2} x^2+5x-6} = \frac{1}{8} \end{align*}

(b)

Determine \(\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2x-3}{x^2+5x-6}\text{.}\)

Solução.

O caso anterior tudo funcionou de forma simples uma vez que o limite do denominador é diferente de zero. Neste caso, quando tomarmos o limite como \(x \to 1\text{,}\) o limite do numerador é:

\begin{align*} \lim\limits_{x \to 1} 2x-3 \amp= 2 \cdot 1 - 3 = -1 \end{align*}

E o limite do denominador vale

\begin{align*} \lim\limits_{x \to 1} x^2 +5x-6 \amp= 1 \cdot 1 + 5 - 6 = 0 \end{align*}

Observe o gráfico de \(f(x)\) na Figura 1.11 e note que o limite lateral à esquerda é \(+\infty\) e à direita é \(-\infty\text{.}\) Como o limite do numerador é diferente de zero e o limite do denominador é zero, o limite do quociente

\begin{gather*} \lim\limits_{x \to 1} \frac{2x-3}{x^2+5x-6} \end{gather*}

não existe.

Subseção 1.4 Sugestão de vídeos

• Calculando \(\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2+x-6}{x-2}\text{.}\)⁶

• Calculando limites laterais para \(f(x)=-\dfrac{1}{(x-1)^2}\text{.}\)⁷

Subseção 1.5 Mais propriedades de limites

Agora apresentaremos mais duas regras para calcular limites de potência e raízes de funções. Iniciamos com a propriedade que pode ser obtida a partir da aplicação repetida do produto de limites para \(f(x)=g(x)\text{.}\)

A combinação de um dos Limites essenciais e a Propriedade da Potência gera uma forma de obter outro limite muito comum e útil. Se \(n\) um inteiro positivo, \(a\) um número real então

Ao combinar os últimos teoremas, podemos tornar a avaliação de limites de polinômios e funções racionais muito mais fácil:

O Teorema 1.18 torna os exemplos apresentados até aqui mais fáceis de calcular:

É claro que os limites de polinômios são muito fáceis, enquanto os de funções racionais são fáceis, exceto quando o denominador pode ir a zero. Vimos exemplos onde o limite resultante não existe, e alguns onde existe. Agora trabalhamos para explicar isso de forma mais sistemática. O exemplo a seguir demonstra que às vezes é possível levar o limite de uma função racional a um ponto em que o denominador é zero.

Determine \(\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^3-x^2}{x-1}.\)

Solução.

Aplicando os limites os limites de numerador e denominador separadamente obtemos

\begin{align*} \lim\limits_{x \to 1} x^3-x^2 \amp= 1-1 = 0\\ \lim\limits_{x \to 1} x-1 \amp= 1-1 = 0 \end{align*}

Uma vez que o denominador é zero, não podemos aplicar o Teorema 1.18. Fazendo uma análise crítica, note que à medida que ambos, numerador e denominador tendem para zero quando \(x\to 1\) é possível haver termos comuns que podem ser cancelados. Então vamos manipular um pouco mais a expressão e então calcular o limite:

\begin{align*} \lim\limits_{x \to 1}\frac{x^3-x^2}{x-1} \amp= \lim\limits_{x \to 1}\frac{x^2\cancel{(x-1)}}{\cancel{x-1}} \amp \ct{Cancelamento}\\ \amp=\lim\limits_{x \to 1}x^2=1^2=1. \amp \ct{Limite da potência} \end{align*}

De fato, quando analisamos o gráfico de \(f\) na Figura 1.20 notamos que a estratégia do cancelamento de termos faz sentido. Note que a imagem de \(f(x)\) difere de \(x^2\) apenas em \(x=1\text{,}\) o que é irrelevante em termos de limite já que estamos interessados no que acontece com \(f(x)\) quando \(x\) está próximo de \(1\) e não necessariamente em \(x=1\text{.}\)

No teorema a seguir formalizamos o raciocínio da estratégia do cancelamento utilizada no Exemplo 1.19.

Um indicativo para usar a estratégia do cancelamento (fundamentada pelo Teorema 1.21) é quando os limites de ambos numerador e denominador tendem a zero. Isso muitas vezes indica que exista um fator comum entre numerador e denominador que pode ser cancelado. No caso do Exemplo 1.19 esse fator foi \((x-1)\text{.}\)

Agora, um exemplo envolvendo radiciação:

Subseção 1.6 Sugestão de vídeo

• Calculando \(\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{x+1}{\sqrt{x+5}-2}\text{.}\)⁸

• Calculando \(\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{1-\cos{\theta}}{2\sin^2{\theta}}\text{.}\)⁹

• Calculando limites laterais para \(f(x)=\dfrac{x}{1-\cos{(x-2)}}\text{.}\)¹⁰

Subseção 1.7 O Teorema do Confronto

Usando o teorema acima, podemos calcular o limite de funções com expressões complicadas.

Subseção 1.8 Sugestão de vídeos

• Introdução ao teorema do confronto.¹¹

• Uma demonstração para \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin{x}}{x}=1\) .¹²

• Calculando \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos{x}}{x}\) .¹³