Objetivos: Estrutura
- Reconhecer integrais impróprias
- Calcular integrais impróprias com limites infinitos de integração.
- Calcular integrais impróprias com integrandos infinitos.
Seção 1 Integral Imprópia
Vimos anteriormente que uma função \(f(x)\) é integrável em um intervalo \([a,b]\text{,}\) quando é contínua nesse intervalo. Aqui estamos interessados em calcular integrais em que um ou ambos os lados do intervalo é infinito. Como por exemplo,
\begin{equation*}
\integrald{\frac{1}{x^2}}{1}{\infty}{x}.
\end{equation*}
Outro caso de interesse é quando \(f\) tende ao infinito em algum valor do intervalo se integração, como é o caso a seguir
\begin{equation*}
\integrald{\frac{1}{\sqrt{x-1}}}{1}{2}{x}.
\end{equation*}
As integrais que possuem uma dessas características são chamadas integrais impróprias. Entre outras utilidades, as integrais impróprias permitem determinar se uma região infinita que está sob a curva \(\frac{1}{x^2}\text{,}\) como ilustrado na Figura 1.1, possui ou não área infinita. 
Figura 1.1.
Subseção 1.1 Intervalos infinitos
- Se \(f\) for contínua no intervalo \([a, \infty)\text{,}\) então\begin{equation*} \integrald{f(x)}{a}{\infty}{x} = \lim_{b\to\infty} \integrald{f(x)}{a}{b}{x} \end{equation*}
- Se \(f\) for contínua no intervalo \((-\infty,a]\text{,}\) então\begin{equation*} \integrald{f(x)}{-\infty}{b}{x} = \lim_{a\to -\infty} \integrald{f(x)}{a}{b}{x} \end{equation*}
- Se qualquer das integrais acima for um número, dizemos que a integral é convergente. Por outro lado, se o resultado for \(\pm \infty\) a integral é dita divergente.
Exemplo 1.2.
Determine a integral \(\integrald{\frac{1}{x^2}}{1}{\infty}{x} \text{.}\)
Solução.
De acordo com Item , temos
\begin{align*}
\integrald{\frac{1}{x^2}}{1}{\infty}{x}\amp =\lim_{b\to\infty} \integrald{\frac{1}{x^2}}{1}{b}{x} \amp \quad \ct{calcule a integral indefinida}\\
\amp =\lim_{b\to\infty}\left(\left. -\frac{1}{x} \right]_1^b\right)\amp \quad \ct{Teorema Fundamental do Cálculo.}\\
\amp = \lim_{b\to\infty}\left(1-\frac{1}{b}\right) =1 \amp\quad \ct{calcule o limite.}
\end{align*}
Logo a integral é convergente.
Exemplo 1.3.
Determine a integral \(\integrald{\frac{1}{\sqrt[4]{1+x}}}{0}{\infty}{x} \text{.}\)
Solução.
De acordo com Item , temos
\begin{align*}
\integrald{\frac{1}{\sqrt[4]{1+x}}}{0}{\infty}{x} \amp = \lim_{b\to\infty} \integrald{\frac{1}{\sqrt[4]{1+x}}}{0}{b}{x} \amp \quad \ct{calcule a integral indefinida}\\
\amp = \lim_{b\to\infty} \left(\left. \frac{4}{3}{\left(x + 1\right)}^{\frac{3}{4}} \right]_0^b\right) \amp \quad \ct{Teorema Fundamental do Cálculo.} \\
\amp = \lim_{b\to\infty}\left(\frac{4}{3} {\left(b + 1\right)}^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \right) \amp \quad \ct{Calcule o limite}\\
\amp = \infty - \frac{4}{3} = \infty
\end{align*}
Nesse caso a integral é divergente.
Exercício de Verificação 1.4.
Determine a integral \(\integrald{\frac{1}{x^3}}{1}{\infty}{x} \text{.}\)
Dica.
Revise Exemplo 1.2.
Resposta.
\(\frac{1}{2}\)
Exercício de Verificação 1.5.
Determine a integral \(\integrald{\frac{1}{x}}{1}{\infty}{x} \text{.}\)
Dica.
Revise Exemplo 1.2.
Resposta.
\(\infty\)
Exemplo 1.6.
Determine a integral \(\integrald{\frac{1}{(1-x)^{4/3}}}{-\infty}{0}{x}\text{.}\)
Solução.
Aplicando a igualdade Item , temos
\begin{align*}
\integrald{\frac{1}{(1-x)^{4/3}}}{-\infty}{0}{x} \amp = \lim_{a\to -\infty}\integrald{\frac{1}{(1-x)^{4/3}}}{a}{0}{x} \amp \quad \ct{calcule a integral indefinida.}\\
\amp = \lim_{a\to -\infty}\left(\left. -\frac{3}{{\sqrt[3]{1-x}}} \right]_0^a\right) \amp \quad \ct{Teorema Fundamental do Cálculo.} \\
\amp = \lim_{a\to -\infty}\left(-\frac{3}{{\sqrt[3]{1-a }}} + 3 \right) \amp \quad \ct{Calcule o limite.} \\
\amp =3
\end{align*}
Exemplo 1.7.
Determine \(\integrald{xe^x}{-\infty}{0}{x}\text{.}\)
Solução.
Usando Item , temos
\begin{align*}
\integrald{xe^x}{-\infty}{0}{x}\amp = \lim_{a\to -\infty}\integrald{xe^x}{a}{0}{x}
\end{align*}
A integral acima requer a aplicação do método de integração por partes. Fazendo \(u=x\text{,}\) \(\dd v=e^x\text{,}\) obtemos \(\dd u=dx\text{,}\) \(v=e^x\text{.}\) Então,
\begin{align*}
\integrald{xe^x}{a}{0}{x} \amp = \left. xe^x\right]_a^0 - \integrald{e^x}{a}{0}{x} \\
\amp = -ae^a-1+ e^a
\end{align*}
Portanto,
\begin{align*}
\integrald{xe^x}{-\infty}{0}{x} \amp = \lim_{a\to -\infty}(-ae^a-1+ e^a) \\
\amp = \lim_{a\to -\infty}(-ae^a)-\lim_{a\to -\infty}(1)+ \lim_{a\to -\infty}(e^a) \\
\amp = -0 -1 + 0 =-1\text{.}
\end{align*}
O primeiro limite acima deve-se a aplicação da regra de L’Hôspital:
\begin{align*}
\lim_{a\to -\infty}ae^a \amp = \lim_{a\to -\infty}\frac{a}{e^{-a}}=\lim_{a\to -\infty}\frac{1}{-e^{-a}}\\
\amp = \lim_{a\to -\infty}(-e^{a})=0 \text{.}
\end{align*}
Exercício de Verificação 1.8.
Determine \(\integrald{(x-1)^2}{-\infty}{0}{x}\text{.}\)
Dica.
Revise Exemplo 1.6.
Resposta.
\(divergente\)
Exercício de Verificação 1.9.
Determine \(\integrald{e^{5x}}{-\infty}{0}{x}\text{.}\)
Dica.
Faça \(u=5x\text{.}\)
Resposta.
\(\frac{1}{5}\)
- Se \(f\) for contínua no intervalo \((-\infty, \infty)\text{,}\) então\begin{equation*} \integrald{f(x)}{-\infty}{\infty}{x} = \integrald{f(x)}{-\infty}{c}{x} + \integrald{f(x)}{c}{\infty}{x} \end{equation*}
- Se qualquer das integrais acima for um número, dizemos que a integral é convergente. Por outro lado, se o resultado for \(\pm \infty\) a integral é dita divergente.
Exemplo 1.10.
Determine \(\integrald{\frac{1}{1+ x^2}}{-\infty}{\infty}{x}\) é convergente ou divergente.
Solução.
Aqui vamos escolher \(c=0\) em Item . Dessa forma,
\begin{align*}
\integrald{\frac{1}{1+ x^2}}{-\infty}{\infty}{x}\amp = \integrald{\frac{1}{1+ x^2}}{-\infty}{0}{x}
+ \integrald{\frac{1}{1+ x^2}}{0}{\infty}{x}\\
\amp = \lim_{a\to -\infty}\integrald{\frac{1}{1+ x^2}}{a}{0}{x} +
\lim_{b\to \infty}\integrald{\frac{1}{1+ x^2}}{0}{b}{x} \text{.}
\end{align*}
Uma vez que
\begin{align*}
\lim_{a\to -\infty}\integrald{\frac{1}{1+ x^2}}{a}{0}{x} \amp = \lim_{a\to -\infty} \left(\left. \arctan{x} \right]_a^0\right) \\
\amp = \lim_{a\to -\infty}(-\arctan{a})=\frac{\pi}{2}
\end{align*}
e
\begin{align*}
\lim_{b\to \infty}\integrald{\frac{1}{1+ x^2}}{0}{b}{x} \amp= \lim_{b\to \infty} \left(\left. \arctan{x} \right]_0^b\right) \\
\amp = \lim_{b\to \infty}(\arctan{a})=\frac{\pi}{2}\text{,}
\end{align*}
o valor da integral imprópria desejada é
\begin{equation*}
\integrald{\frac{1}{1+ x^2}}{-\infty}{\infty}{x}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi.
\end{equation*}
Nesse caso a integral é convergente.
Exercício de Verificação 1.11.
Determine \(\integrald{\frac{x}{(x^2+3)^2}}{-\infty}{\infty}{x}\text{.}\)
Dica.
\(\integral{\frac{x}{(x^2+3)^2}}{x}= -\frac{1}{2 {\left(x^{2} + 3\right)}}\)
Resposta.
0
Subsubseção 1.1.1 Sugestão de vídeo
- Problema Resolvido: Uma simples introdução. 1
- Problema Resolvido: Integral imprópria divergente. 2
- Problema Resolvido: Dois limites infinitos. 3
Subseção 1.2 Integrandos infinitos
- Se \(f\) for contínua no intervalo \([a,b)\text{,}\) e tender a infinito em \(b\text{,}\) então\begin{equation*} \integrald{f(x)}{a}{b}{x} = \lim_{c\to b^{-}}\integrald{f(x)}{a}{c}{x} \text{.} \end{equation*}
- Se \(f\) for contínua no intervalo \((a,b]\text{,}\) e tender a infinito em \(a\text{,}\) então\begin{equation*} \integrald{f(x)}{a}{b}{x} = \lim_{c\to a^{+}}\integrald{f(x)}{c}{b}{x} \text{.} \end{equation*}
Exemplo 1.12.
Determine se a integral \(\integrald{\frac{3}{x^2-3x}}{1}{3}{x}\) é convergente ou divergente.
Solução.
\begin{align*}
\integrald{\frac{3}{x^2-3x}}{1}{3}{x}\amp =\lim_{c\to 3^-}\integrald{\left(\frac{1}{{\left(x - 3\right)}} - \frac{1}{x}\right)}{1}{3}{x}\\
\amp = \lim_{c\to 3^-}\frac{1}{3}\left(\ln{|x-3|} - \ln{|x|}\Biggr]_1^c\right) \\
\amp = -\infty
\end{align*}
Exemplo 1.13.
Determine \(\integrald{\frac{1}{\sqrt{x-1}}}{1}{2}{x}\text{.}\)
Solução.
\begin{align*}
\integrald{\frac{1}{\sqrt{x-1}}}{1}{2}{x}\amp = \lim_{c\to 1^+}\integrald{\frac{1}{\sqrt{x-1}}}{c}{2}{x}\\
\amp = \lim_{c\to 1^+}\left( 2\sqrt{x - 1}\Biggr]_c^2\right) \\
\amp = \lim_{c\to 1^+}\left(2 -2\sqrt{c - 1} \right) \\
\amp = 2
\end{align*}
Exercício de Verificação 1.14.
Verifique se \(\integrald{\frac{1}{x^2-5x}}{1}{5}{x}\) converge ou diverge.
Dica.
Revise Exemplo 1.13.
Resposta.
A integral é imprópria é divergente.
Exercício de Verificação 1.15.
Determine \(\integrald{\frac{1}{\sqrt{x-2}}}{2}{5}{x}\text{.}\)
Dica.
\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}\) tem assíntota vertical em \(x=2\text{.}\)
Resposta.
\(2\sqrt{3}\)
- Se \(f\) for contínua no intervalo \([a,b]\text{,}\) exceto para algum \(c\) em \((a,b)\) no qual \(f\) tende a infinito, então\begin{equation*} \integrald{f(x)}{a}{b}{x}=\integrald{f(x)}{a}{c}{x} + \integrald{f(x)}{c}{b}{x}. \end{equation*}
Exemplo 1.16.
Determine \(\integrald{\frac{1}{x-1}}{0}{3}{x}\text{,}\) se possível.
Solução.
O integrando possui uma descontinuidade em \(x=1\text{.}\) Assim, de acordo com Item , temos
\begin{align*}
\integrald{\frac{1}{x-1}}{0}{3}{x}\amp =\integrald{\frac{1}{x-1}}{0}{1}{x} + \integrald{\frac{1}{x-1}}{1}{3}{x}.
\end{align*}
Mas,
\begin{align*}
\integrald{\frac{1}{x-1}}{0}{1}{x} \amp = \lim_{c\to 1^-} \integrald{\frac{1}{x-1}}{0}{c}{x} \\\
\amp = \lim_{c\to 1^-} \left( \ln{|c-1|}-\ln{|-1|}\right) \\
\amp = \lim_{c\to 1^-} \ln(1-c)=-\infty \text{.}
\end{align*}
Então
\begin{equation*}
\integrald{\frac{1}{x-1}}{0}{1}{x}
\end{equation*}
é divergente. Daí,
\begin{equation*}
\integrald{\frac{1}{x-1}}{0}{3}{x}
\end{equation*}
diverge.
Exercício de Verificação 1.17.
Determine \(\integrald{\ln{x}}{0}{1}{x}\text{.}\)
Dica.
Use integral por partes com \(u=\ln{x}\) e \(\dd v= \dd x\text{.}\)
Resposta.
\(-1\)
Exercícios 1.3 Exercícios
1.
Avalie as integrais que convergem, insira ’divergente’ se a integral diverge.
Determine a integral imprópria
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{1} \frac{7}{x^{2}+4} \;dx\) \(=\) insira ’divergente’ se a integral não convergir.
Resposta.
\(\frac{7\tan^{-1}\!\left(\frac{1}{2}\right)}{2}+\frac{7\pi }{4}\)
Solução.
\begin{equation*}
\displaystyle\int_{-\infty}^{1} \frac{7}{x^{2}+4} \;dx=\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{1} \frac{7}{x^{2}+4} \;dx=\lim_{a\to -\infty} \left[\frac{7\tan^{-1}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{2}\right]_{a}^{1}=\lim_{a\to -\infty}\left[{\textstyle\frac{7}{2}}\tan^{-1}({\textstyle\frac{1}{2}})-\frac{7\tan^{-1}\!\left(\frac{a}{2}\right)}{2}\right]={\textstyle\frac{7}{2}}\tan^{-1}({\textstyle\frac{1}{2}})+\frac{7\pi }{4}
\end{equation*}
2.
Determine se a integral é divergente ou convergente. Se for convergente, calcule. Caso contrário, dê a resposta -1.
\begin{equation*}
\int_{6}^{\infty} x e^{-4x} dx
\end{equation*}
Resposta.
\(5.89864772543609\times 10^{-11}\)
Solução.
Será necessário usar a integração por partes. Para recordar, segue a fórmula:
\begin{equation*}
\int u \; dv = u v - \int v \; du.
\end{equation*}
Neste caso vamos usar as seguintes substituições: \(u = x\text{,}\) \(du = dx\text{,}\) \(dv = e^{-4 x} dx\text{,}\) e \(v = \frac{-1}{4} e^{-4 x}\text{.}\)
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\int_{6}^{\infty} x e^{-4 x} \; dx
\amp = \int_{6}^{\infty} u dv \\\\
\amp = \left. u v \right|_{6}^{\infty} - \int_{6}^{\infty} v \; du \\\\
\amp = \left. \frac{-x}{4} e^{-4 x} \right|_{6}^{\infty}
+ \frac{1}{4} \int_{6}^{\infty} e^{-4 x} \; dx \\\\
\amp = \left. \frac{-x}{4} e^{-4 x} \right|_{6}^{\infty}
- \left. \frac{1}{4^2} e^{-4 x} \right|_{6}^{\infty} \\\\
\amp = \left( \frac{-x}{4} e^{-4 x}
- \left. \frac{1}{4^2} e^{-4 x} \right) \right|_{6}^{\infty} \\\\
\amp = \left. \left( \frac{-4 x - 1}{4^2} \right)
e^{-4 x} \right|_{6}^{\infty} \\\\
\amp = \lim_{x\to\infty} \left( \frac{-4 x - 1}{4^2} \right) e^{-4 x}
- \left( \frac{-4 \cdot 6 - 1}{4^2} \right) e^{-4 \cdot 6} \\\\
\amp = \frac{24 + 1}{4^2} e^{-24}
\end{aligned}
\end{equation*}
(O limite acima desapareceu porque o termo \(e^{4 x}\) em seu denominador cresce muito mais rápido do que qualquer polinômio, especialmente o linear \(-4 x - 1\)
3.
Verifique se a integral abaixo converge, informe ’divergente’ se for divergente.
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{3x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \;dx\) \(=\)
Resposta.
\(0\)
Solução.
\begin{equation*}
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{3x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \;dx=\int_{-\infty}^{c} \frac{3x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \;dx+\int_{c}^{\infty} \frac{3x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \;dx=\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{c} \frac{3x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \;dx+\lim_{b\to +\infty}\int_{c}^{b} \frac{3x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \;dx
\end{equation*}
\begin{equation*}
=\lim_{a\to -\infty} \left[-\frac{3}{2\!\left(x^{2}+1\right)}\right]_{a}^{c}+\lim_{b\to +\infty} \left[-\frac{3}{2\!\left(x^{2}+1\right)}\right]_{c}^{b}=0
\end{equation*}
4.
Determine se a integral é divergente ou convergente. Se for convergente, calcule. Se não, responda como "divergente".
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty} (-1 x^2 + 4 x - 1) dx
\end{equation*}
Resposta.
divergente
5.
Considere a integral
\begin{equation*}
\int_{0}^{\,2} {\frac{-6 x + 18}{2x-3}}\, dx
\end{equation*}
Se a integral é divergente ponha o "D" maiusculo. Caso contrário, calcule a integral.
Resposta.
\(\text{D}\)
6.
Calcule o valor da integral imprópria a seguir. Se for divergente ponha, ’divergente’.
\begin{equation*}
\int_{0}^{2}\! \frac{dx}{x^{2}-6x+5}
\end{equation*}
Resposta:
Resposta.
\(\text{divergente}\)
