Objetivos: Estrutura
- Calcular a primitiva de uma função.
- Definir a integral indefinida.
- Introduzir o conceito de equações diferenciais.
Seção 1 Integral Indefinida
Subseção 1.1 Primitiva
Definição 1.1.
Seja \(f\) uma função definida em um intervalo aberto 1 \(I\text{.}\) Uma primitiva é uma função \(F\) definida em \(I\text{,}\) de modo que
\begin{gather}
\frac{\dd}{\dd x}\left[F(x)\right]=f(x). \tag{1.1}
\end{gather}
para todo \(x\) em \(I\text{.}\)
Nota 1.2.
É comum reescrever (1.1) como \(F'(x)=f(x)\text{.}\)
Exemplo 1.3. Determinando Primitivas.
A primitiva de \(f(x)=x^2\) em \((-\infty, +\infty)\) é \(F(x)=\frac{1}{3}x^3\text{.}\)
Solução.
De fato, uma vez que para todo \(x\text{,}\)
\begin{align*}
\frac{\dd}{\dd x}\left[\frac{1}{3}x^3\right]\amp = x^2
\end{align*}
para todo \(x\) em \((-\infty, +\infty)\text{.}\)
Exemplo 1.4. Primitivas mais gerais.
Considere \(C \in \mathbb{R}\text{.}\) A função \(G(x)= \frac{1}{3}x^3 + C\) é, também, uma primitiva de \(f(x)=x^2\) em \((-\infty, +\infty)\text{.}\)
Solução.
Segue do fato de \(\frac{\dd}{\dd x}(C)=0\text{,}\) seja qual for o número \(C\text{.}\)
Exercício de Verificação 1.5.
Encontre pelo menos 3 primitivas para a função constante \(f(x)=k\text{.}\)
Resposta.
\(F(x)=kx\text{,}\) \(G(x)=kx +1\text{,}\) \(H(x)=kx+\frac{1}{2}\text{.}\)
Solução.
Se \(k\) é constante então a derivada de \(kx\) é \(k\text{,}\) logo \(F(x)=kx\) é uma primitiva de \(f(x)=k\text{.}\) O mesmo acontece para \(G(x)=kx +1\) e \(H(x)=kx+\frac{1}{2}\text{.}\) É fácil perceber que \(kx+C\text{,}\) na qual \(C\) é uma constante, é uma primitiva de \(f\) para qualquer que seja o valor de \(C\text{.}\)
Quantas primitivas pode ter uma função?
Teorema 1.6.
Se \(F(x)\) é uma primitiva de \(f(x)\) em um intervalo aberto \(I\) , então \(F(x) + C\text{,}\) seja qual for o valor da constante \(C\text{,}\) é também uma primitiva de \(f(x)\) em \(I\text{.}\)
O Teorema 1.6 garante que uma vez conhecida uma primitiva de um função, todas as outras são iguais, a menos de uma constante, como o leitor pôde verificar no Exercício de Verificação 1.5. É comum se referir a expressão \(F(x)+C\) como a família de primitivas de \(f(x)\text{.}\)
O processo para encontrar a primitiva de uma função \(f(x)\) define uma operação denominada integral indefinida de \(f(x)\) em relação a \(x\text{.}\) Como todas as primitivas de \(f(x)\) são da forma \(F(x) + C\text{,}\) usaremos a notação
\begin{gather}
\integral{f(x)}{x}=F(x) + C \text{,}\tag{1.2}
\end{gather}
na qual \(f(x)\) é chamada de integrando e \(C\) de constante de integração.
Como se lê.
\begin{equation*}
\integral{f(x)}{x}=F(x) + C
\end{equation*}
A integral de \(f(x)\) em relação a \(x\) é igual a \(F(x)\) mais uma constante.
Nota 1.7. O símbolo \((\displaystyle\int)\) e o símbolo \((\dd x)\).
O símbolo que parece um "S esticado verticalmente" é denominado sinal de integral. Sua origem vem da palavra sum (soma, em português) que diz respeito a definição de integral definida, tópico que será apresentado no momento adequado.
O símbolo de diferencial \(\dd x\) serve para identificar a variável independente. Neste contexto, quando estamos diante da diferencial 2 \(\dd x\) devemos calcular a integral em relação a \(x\text{,}\) assim como \(\dd t\) indica integração em relação a variável \(t\text{.}\)
Exemplo 1.8. Determinação de integrais indefinidas.
Determine cada integral a seguir:
(a)
\(\integral{2}{x}.\)
Solução.
\begin{equation*}
\integral{2}{x}=2x + C\text{.}
\end{equation*}
(b)
\(\integral{x}{x}\)
Solução.
Uma vez que \(\frac{\dd}{\dd x}[\frac{x^2}{2}]=x\text{,}\) obtem-se
\begin{equation*}
\integral{x}{x}=\frac{x^2}{2} + C\text{.}
\end{equation*}
(c)
\(\integral{x^2}{x}\)
Solução.
Como \(\frac{x^3}{3}\) é uma primitiva de \(x^2\text{,}\) pois \(\frac{\dd}{\dd x}[\frac{x^3}{3}]=x^2\text{,}\) concluímos que
\begin{equation*}
\integral{x^2}{x}=\frac{x^3}{3} +C\text{.}
\end{equation*}
Exemplo 1.9. Primitiva particular.
Para a função \(f(x)=3x+1\text{,}\) determine a primitiva, \(F(x)\text{,}\) que satisfaça \(F(2)=4\text{.}\)
Solução.
A função \(F(x)= 3\left(\frac{x^2}{2}\right) + x+ C\) é a família de primitivas, uma vez que
\begin{align*}
\frac{\dd }{\dd x}\left[3\left(\frac{x^2}{2}\right) + x+ C\right]= 3x+1 \amp \quad \color{gray}{(\text{veja Equação} \,\, \knowl{./knowl/eq-primitiva.html}{\text{(1.1)}})}\text{.}
\end{align*}
A condição \(F(2)=4\) fornece a possibilidade de determinar o valor de \(C\) fazendo
\begin{equation*}
F(2)= 3\left(\frac{2^2}{2}\right) + 2 + C = 4
\end{equation*}
para obter \(C=-4\text{.}\) Portanto, a primitiva desejada é
\begin{equation*}
F(x)= 3\left(\frac{x^2}{2}\right) + x - 4\text{.}
\end{equation*}
Integral da função potência.
\begin{equation*}
\integral{x^q}{x} = \frac{x^{q+1}}{q+1} + C, \qquad q\neq - 1.
\end{equation*}
Exemplo 1.10. Integração da função potência.
(a)
Determine \(\integral{t^7}{t}\text{.}\)
Solução.
O integrando é uma função potência, então basta usar a fórmula da Integral da função potência e obter \(\frac{t^8}{8} + C\text{.}\)
(b)
Determine \(\integral{x^{-2}}{x}\text{.}\)
Solução.
Novamente usando a fórmula da Integral da função potência resultamos em \(\frac{x^{-1}}{-1} + C\text{,}\) que de forma simplificada se torna igual a \(-\frac{1}{x} + C\text{.}\)
Exercício de Verificação 1.11.
Para a função \(f(x)=2(x-1)\text{,}\) encontre a primitiva, \(F(x)\text{,}\) que satisfaça \(F(3)=2\text{.}\)
Dica.
Revise o Exemplo 1.9
Resposta.
\(x^2-2x-1\)
Exercício de Verificação 1.12.
Para a função \(f(x)=x^{-\frac{1}{3}}-1\text{,}\) encontre a primitiva, \(F(x)\text{,}\) que satisfaça \(F(8)=4\text{.}\)
Dica.
Revise o Exemplo 1.9
Resposta.
\(\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - x + 6\)
Atividade 1.1. Verificando fatos.
Usando o que foi aprendido até aqui, faça uma demonstração da Integral da função potência.
Dica.
Experimente derivar o lado direito da igualdade solicitada.
Exemplo 1.13. \(\integral{\frac{1}{x}}{x}\).
Integral da função potência para \(q=-1\text{:}\)
\begin{equation*}
\integral{\frac{1}{x}}{x} = \ln{|x|} + C\text{.}
\end{equation*}
Solução.
A fórmula da Integral da função potência não é válida para \(q=-1\text{.}\) Logo não é possível utilizá-la para obter a integral indefinida de \(1/x\text{.}\) O passo natural é encontrar uma função cuja derivada seja \(1/x\text{.}\) Sabe-se que
\begin{equation*}
\frac{\dd}{\dd x}\ln{x}= \frac{1}{x}\text{.}
\end{equation*}
Então,
\begin{align}
\integral{\frac{1}{x}}{x} \amp= \ln{x} + C, \, x \gt 0 \text{.}\tag{✶}
\end{align}
De fato, o logaritmo natural não está definido para valores menores que zero. Mas,
\begin{gather}
\frac{\dd}{\dd x}\ln{(-x)} = (-1)\frac{1}{-x}=\frac{1}{x} \text{,}\tag{✶✶}
\end{gather}
para \(x \lt 0\text{.}\) Então,
\begin{equation*}
\integral{\frac{1}{x}}{x}= \ln{(-x)} + C, \quad x \lt 0\text{.}
\end{equation*}
De (✶) e (✶✶) concluímos que \(\ln{x}\) é primitiva de \(\sfrac{1}{x}\) se \(x\gt 0\) e que \(\ln{(-x)}\) é primitiva de \(1/x\) se \(x\lt 0\text{.}\) Mais diretamente, podemos afirmar que \(\ln{|x|}\) é uma primitiva de \(1/x\text{.}\) Portanto,
\begin{equation*}
\integral{\frac{1}{x}}{x} = \ln{|x|} + C\text{.}
\end{equation*}
Exemplo 1.14. \(\integral{e^x}{x}\).
Integral da função exponencial:
\begin{equation*}
\integral{e^x}{x}=e^x + C
\end{equation*}
Solução.
Como \(\frac{\dd }{\dd x}[e^x]=e^x\text{,}\) concluímos que a função exponencial é sua própria primitiva. Logo,
\begin{equation*}
\integral{e^x}{x}= e^x + C.
\end{equation*}
Exemplo 1.15. \(\integral{\sin{x}}{x}\) e \(\integral{\cos{x}}{x}\).
A integral das funções seno e cosseno:
\begin{align*}
\integral{\sin{x}}{x}\amp =-\cos{x}+C\\
\integral{\cos{x}}{x} \amp=\sin{x}+C
\end{align*}
Solução.
Seguem do fato de
\begin{align*}
\frac{\dd }{\dd x}[\cos{x}]=-\sin{x} \amp \quad \text{e} \quad \frac{\dd }{\dd x}[\sin{x}]=\cos{x}\text{.}
\end{align*}
Propriedadades da Integral Indefinida.
Se \(k\) uma constante e \(F(x)\) e \(G(x)\) são primitivas de \(f(x)\) e \(g(x)\text{,}\) respectivamente, então
- \(\displaystyle \small{\integral{kf(x)}{x}=k\integral{f(x)}{x}}\)
- \(\displaystyle \small{\integral{\left[ f(x) + g(x)\right]}{x}=\integral{f(x)}{x} + \integral{g(x)}{x}}\)
- \(\displaystyle \small{\integral{\left[f(x) - g(x)\right]}{x}=\integral{f(x)}{x} - \integral{g(x)}{x}}\)
Exemplo 1.16. Aplicando propriedades.
Determine cada integral:
(a)
\(\integral{2\cos{x}}{x}\text{.}\)
Solução.
\begin{align*}
\integral{2\cos{x}}{x} \amp = 2\integral{\cos{x}}{x} \amp \knowl{./knowl/thm-prop-integral-indefinida-a.html}{\text{Propriedade I}}\\
\amp = 2\sin{x} + C\amp \color{gray}{\frac{\dd}{\dd x}\left[\cos{x}\right]=\sin{x}}
\end{align*}
(b)
\(\integral{(x^2+ e^x)}{x}\text{.}\)
Solução.
\begin{align*}
\integral{(x^2+ e^x)}{x}\amp = \integral{x^2}{x} + \integral{e^x}{x} \amp \knowl{./knowl/thm-prop-integral-indefinida-b.html}{\text{Propriedade II}}\\
\amp = \frac{x^3}{3} + e^x + C \amp \knowl{./knowl/prob-integral-funcao-potencia.html}{\text{Integral da função potência}}
\end{align*}
Exemplo 1.17. Integração de funções polinomiais.
Determine cada integral.
(a)
\(\integral{(t^5 + 2t^3 - t + 1)}{t}\text{.}\)
Solução.
\begin{align*}
\integral{(t^5 + 2t^3 - t + 1)}{t}\amp =
\integral{t^5}{t} + 2\integral{t^3}{t} - \integral{t}{t} +
\integral{1}{t}
\amp \knowl{./knowl/thm-prop-integral-indefinida.html}{\text{Propriedadades da Integral Indefinida}}\\
\amp = \frac{t^{6}}{6} + \frac{t^{4}}{2} - \frac{t^{2} }{2} + t + C \amp \knowl{./knowl/prob-integral-funcao-potencia.html}{\text{Integral da função potência}}
\end{align*}
(b)
\(\integral{(x^2+x)}{x}\text{.}\)
Solução.
\begin{align*}
\integral{(x^2+x)}{x}\amp = \integral{x^2}{x} + \integral{x}{x} \amp \knowl{./knowl/thm-prop-integral-indefinida-b.html}{\text{Propriedade II}}\\
\amp = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C \amp \knowl{./knowl/prob-integral-funcao-potencia.html}{\text{Integral da função potência}}
\end{align*}
Exemplo 1.18. Primitiva particular.
Encontre \(F(x)\) sabendo que \(F''(x)=12x^2+6x-4\) , \(F(0)=4\) e \(F(1)=1\text{.}\)
Solução.
A família de primitivas de \(F''(x)\) é naturalmente
\begin{align*}
F'(x) \amp = 12\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} -4x+ C \amp \color{gray}{\frac{\dd}{\dd x}\left[F'(x)\right]=F''(x)} \\
\amp =4x^3 + 3x^2-4x+C
\end{align*}
Assim como todas as primitivas de \(F'(x)\) tem a forma
\begin{align*}
F(x)\amp = 4\frac{x^4}{4} + 3\frac{x^3}{3} -4\frac{x^2}{2} + Cx + D \amp \color{gray}{\frac{\dd}{\dd x}\left[F(x)\right]=F'(x)} \\
\amp = x^4 + x^3-2x^2+Cx+D
\end{align*}
Uma vez que \(F\) deve satisfazer \(F(0)=4\) e \(F(1)=1\) temos
\begin{align*}
F(0) \amp = 0+D =4 \\
F(1) \amp = 1+ 1-2+C+4=1
\end{align*}
que nos fornece \(D=4\) e \(C=-3\text{.}\) Por fim, encontramos
\begin{align*}
F(x) = x^4+ x^3-2x^2-3x+4 \amp \text{.}
\end{align*}
Exercício de Verificação 1.19.
Determine \(\integral{\left(\sin{t}+3\cos{t}\right)}{t}\)
Dica.
Revise o Exemplo 1.15 e Propriedadades da Integral Indefinida.
Resposta.
\(-\cos{t} + 3\sin{t} + C\)
Exercício de Verificação 1.20.
Encontre \(F(x)\) sabendo que \(F''(x)=\frac{6}{\sqrt{x}} + 3\) , \(F'(1)=12\) e \(F(4)=56\text{.}\)
Dica.
Revise o Exemplo 1.18 e Integral da função potência.
Resposta.
\(\frac{3}{2}x^{2} + 8x^{\frac{3}{2}} - 3x - 20\)
Subseção 1.2 Tabela de integrais
| Fórmula |
| \(\integral{}{x}=x+ C\) |
| \(\integral{x^q}{x}=\frac{x^{q+1}}{q+1} + C,\,q\neq -1\) |
| \(\integral{\cos{x}}{x}=\sin{x} + C\) |
| \(\integral{\sin{x}}{x}=-\cos{x} + C\) |
| \(\integral{\sec^2{x}}{x}=\tan{x} + C\) |
| \(\integral{\csc^2{x}}{x}=-\cot{x} + C\) |
| \(\integral{\sec{x}\tan{x}}{x}=\sec{x} + C\) |
| Fórmula |
| \(\integral{\csc{x}\cot{x}}{x}=-\csc{x} + C\) |
| \(\integral{e^x}{x} = e^x + C\) |
| \(\integral{b^x}{x}= \frac{b^x}{\ln{b}} + C\, (b>0, b\neq 1)\) |
| \(\integral{\frac{1}{x}}{x}=\ln{|x|} + C\) |
| \(\integral{\frac{1}{1+x^2}}{x}=\arctan{x} + C\) |
| \(\integral{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{x}=\arcsin{x} + C\) |
| \(\integral{\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}}{x}=\arcsec{|x|} + C\) |
Exemplo 1.23. Reescrever antes de integrar.
(a)
\(\integral{\frac{x^2}{x^2+1}}{x}\text{.}\)
Solução.
Somando e subtraindo 1 do numerador do integrando, podemos reescrever a integral de modo permitir aplicar as fórmulas sugeridas na Tabela 1.22. Os passos seguintes são ilustramos logo abaixo:
\begin{align*}
\integral{\frac{x^2}{x^2+1}}{x} \amp = \integral{\left(\frac{x^2+1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}\right)}{x} \amp \color{gray}{\text{(reescrevendo o integrando)}}\\
\amp =\integral{\left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)}{x} \\
\amp = \integral{1}{x} - \integral{\left(\frac{1}{x^2+1}\right)}{x} \quad \amp \knowl{./knowl/thm-prop-integral-indefinida-c.html}{\text{Propriedade III}}\\
\amp = x - \arctan{x} + C \quad \quad \amp \knowl{./knowl/tabela2-integrais.html}{\text{Tabela 1.22}}
\end{align*}
(b)
\(\integral{\frac{x^2- 2x^4}{x^4}}{x}\text{.}\)
Solução.
\begin{align*}
\integral{\frac{x^2- 2x^4}{x^4}}{x} = \amp \integral{\left(\frac{1}{x^2}-2\right)}{x} \quad \amp \color{gray}{\text{(reescrevendo o integrando)}}\\
\amp =\integral{x^{-2}}{x}-\integral{2}{x} \amp \knowl{./knowl/thm-prop-integral-indefinida-b.html}{\text{Propriedade II}}\\
\amp =\frac{x^{-1}}{-1}-2x + C \amp \knowl{./knowl/tabela2-integrais.html}{\text{Tabela 1.22}}\\
\amp =-\frac{1}{x}-2x + C \amp \color{gray}{\text{(simplificando)}}
\end{align*}
Exemplo 1.24. Identidades trigonométricas.
Determine \(\integral{\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}}}{x}\text{.}\)
Solução.
\begin{align*}
\integral{\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}}}{x}\amp = \integral{\left(\frac{1}{\sin{x}}\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\right)}{x} \quad \amp\color{gray}{\text{(reescrevendo o integrando)}}\\
\amp = \integral{\csc{x}\cot{x}}{x} \amp \color{gray}{\text{(identidades trigonométricas)}}\\
\amp = -\csc{x} + C \quad \amp \knowl{./knowl/tabela2-integrais.html}{\text{Tabela 1.22}}
\end{align*}
Exercício de Verificação 1.25.
Determine \(\integral{\frac{x^5+ 2x-1}{x^4}}{x}\text{.}\)
Dica.
Verifique que a igualdade
\begin{equation*}
\frac{x^5+ 2x-1}{x^4}=-\frac{1}{x^4}+ \frac{2}{x^3} + x
\end{equation*}
é verdadeira.
Resposta.
\(\frac{3x^5-6x+2}{6x^3} + C\)
Exercício de Verificação 1.26.
Determine \(\integral{\left(\frac{2}{x}+3e^x\right)}{x}\text{.}\)
Dica.
Consulte a Tabela 1.22.
Resposta.
\(3 e^{x} + 2 \ln{|x|} + C\)
Subseção 1.3 Sugestão de Vídeos
- Conceito de Primitivas:
https://youtu.be/LviZwZMVMgA - Integrais de funções constantes:
https://youtu.be/28RKYYlVaK4 - Resolvendo \(\integral{\frac{1}{x}}{x}\) 4
- Integral de funções básicas:
https://youtu.be/upYYltnJwn0
Subseção 1.4 Tecnologia
Tecnologia 1.27. Usando o software SageMath.
Software matemático pode ser útil para calcular integrais complicadas. Um ótima opção é utilizar sistema de computação algébrica SageMath 5 . Com uma sintaxe simples e baseada em Python 6 O SageMath (abreviaremos como Sage) é open-source 7 e tem sido bastante utilizado por professores e estudantes de todos os níveis para conferir cálculos algébricos complicados. Uma boa referência em língua portuguesa para este software pode ser encontrado na página
https://www.sagectu.com.br. Detalhes sobre os comandos são resumidos em https://sagectu.com.br/sagecell.html.Sintaxe dos comandos.
Com o SageMath, usando o comando
integral(f, x) é possível calcular a integral indefinida de \(f(x)\) em relação a variável \(x\text{.}\) Por exemplo, o Exemplo 1.24 pode ser resolvido com o comando: Mas se a função depender da variável \(t\text{,}\) por exemplo, \(f(t)=t^3-2t^2+ 3t + 1 \text{?}\) Basta declarar a variável \(t\) usando o comando var('t'). Para obter a integral com a notação matemática usual, o Sage possui o comando show, observe:
Nas células acima pode-se notar que os comandos
/, *, ^ +, -, representam a operações de divisão, multiplicação, potenciação, soma e subtração, respectivamente. Existe muitos outros comandos de operações matemáticas importantes, confira em https://sagectu.com.br/sagecell.html.Atividade 1.2.
Usando a célula do Sage abaixo, confira todas as integrais apresentadas até aqui. Se a resposta produzida não estiver de acordo com a sua, mostre que elas são equivalentes.
Atividade 1.3. Faça você mesmo.
O avanço dos softwares matemáticos tornou possível calcular vários tipos de integrais que dariam muito trabalho se feitos à mão.
(a)
Usando o conteúdo aprendido até aqui encontre
\begin{equation*}
\integral{\frac{5x^2}{(1+x)^{1/3}}}{x} \text{.}
\end{equation*}
(b)
Use Sage para encontrar a integral do item anterior.
Exercícios 1.5 Exercícios
1.
Determine as integrais indefinidas abaixo:
a) \(\displaystyle\int 4 e^t \, dt\) = \(+ C\text{.}\)
b) \(\displaystyle\int 3^r \, dr\) = \(+ C\text{.}\)
c) \(\displaystyle\int \dfrac{10^x}{18} \,dx\) = \(+ C\text{.}\)
Resposta 1.
\(4e^{t}\)
Resposta 2.
\(\frac{3^{r}}{1.09861}\)
Resposta 3.
\(\frac{10^{x}}{18\cdot 2.30259}\)
Solução.
\begin{equation*}
\int 4 e^t \, dt = 4 \int e^t \, dt = 4 e^t + C.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int 3^r \, dr =
\dfrac{3^r}{\ln 3} + C.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}
\displaystyle\int \dfrac{10^x}{18} \, dx = \dfrac{1}{18} \displaystyle\int 10^x \, dx =
\dfrac{10^x}{18 \ln 10} + C.
\end{array}
\end{equation*}
2.
Considere a função \(f(x) = 3 x^ {10} + 5 x^{7} - 7 x^{3} - 7\text{.}\) Qual a primitiva de \(f(x)\text{?}\)
Resposta.
\(0.272727x^{11}+0.625x^{8}-1.75x^{4}-7x\)
Solução.
Relembre que para um termos na forma \(Ax^n\)a primitiva é apenas o termo cuja derivada é \(Ax^n\text{.}\) Isto é, \(\frac{A}{n+1}x^{n+1} + C\) na qual \(C\) é uma constante desconhecida. A primitiva da constante \(A\) é dada por \(Ax\text{.}\) Então, para encontrar a primitiva desta expressão, aplicamos esta regra termo a termos obtendo:
\begin{equation*}
F(x) = \frac{3}{11}x^{11} +
\frac{5}{8}x^{8} -
\frac{7}{4}x^{4} -
{7}x + C
\end{equation*}
Na qual \(C\) é uma constante arbitrária.
3.
Determine a integral indefinida:
\(\displaystyle{ \int \left(4 x^2 + 3 x - 3\right) \,dx} =\) + \(C\text{.}\)
Resposta.
\(\frac{4x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}-3x+C\)
Solução.
Basta verificar que
\begin{equation*}
\int \left(4 x^2 + 3 x - 3\right) \,dx
= \frac{4x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}-3x+C
\end{equation*}
4.
Considere a função \(\displaystyle f(x) = x^5 + 2 \sqrt{x}\text{.}\)
Seja \(F(x)\) a primitiva de \(f(x)\) com \(F(1) = -6\text{.}\)
Então \(F(x) =\)
Resposta.
\(\frac{x^{6}}{6}+\frac{4x^{1.5}}{3}-7.5\)
Solução.
\(\displaystyle f(x) = x^5 + 2 \sqrt{x} = x^5 + 2 x^{1/2}\text{:}\) \(\displaystyle F(x) = \frac{x^6}{6} + \frac{2 x^{3/2}}{3/2} + c =
\frac{x^6}{6} + \frac{4 x^{3/2}}{3} + c\) Já que \(F(1) = -6\text{,}\) temos \(\displaystyle \frac{1}{6} + \frac{4}{3} + c = -6\) \(\displaystyle c = -6 - \frac{1}{6} - \frac{4}{3} = \frac{-135}{18} = -7.5\) Portanto \(\displaystyle F(x) = \frac{x^6}{6} + \frac{4 x^{3/2}}{3} - 7.5\)
5.
Encontre a primitiva mais geral da função \(\displaystyle{ \frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 6 \sqrt[3]{x^2}}\text{.}\)
Primitiva =
Solução.
Primeiro reescreva a função como segue:
\begin{equation*}
\frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 6 \sqrt[3]{x^2} = 4 x^{-1/3} -6 x^{2/3}
\end{equation*}
Então a primitiva mais geral é:
\begin{equation*}
4 \cdot \frac{3}{2} x^{2/3} - 6\cdot \frac{3}{5} x^{5/3} + C
= 6 x^{2/3} - {\textstyle\frac{18}{5}} x^{5/3} + C
\end{equation*}
6.
Dada a função
\begin{equation*}
f''(x) =
5x - 6
\end{equation*}
com \(f'( -2) =5\) e \(f( -2)=4\text{.}\)
Encontre \(f'(x) =\)
e determine \(f( 3) =\)
Resposta 1.
\(2.5x^{2}+\left(-6\right)x+\left(-17\right)\)
Resposta 2.
\(-66.8333333333333\)
Solução.
Para resolver esses problemas, usaremos o fato de que a primitiva mais geral de \(f (x)\) é \(F (x) + C\) para alguma constante \(C\text{.}\) Então, começamos encontrando a primitiva da segunda derivada \(f''(x)\text{.}\)
\begin{equation*}
f''(x) = 5x - 6
= \frac{d}{dx} f'(x)
= \frac{d}{dx}\left( \frac{5}{2}x^2 - 6x + C_1 \right)
\end{equation*}
Precisamos descobrir qual é essa constante \(C_1\text{.}\) Para isso, vamos usar as informações fornecidas no problema sobre\(f'(-2)\text{.}\) A saber, \(f'( -2) = 5\text{.}\) Logo, temos
\begin{equation*}
\begin{aligned}
f'( -2) \amp = \frac{5}{2}( -2)^2 - 6( -2) + C_1 \\
5 \amp = 22 + C_1 \\
-17 \amp = C_1
\end{aligned}
\end{equation*}
Portanto, \(f'(x) = \frac{5}{2}x^2 - 6x - 17\text{.}\)
Agora, procedemos como antes, desta vez encontrando a primitiva de \(f'(x)\) e usar informações sobre \(f(3)\) para encontrar \(f(x)\text{.}\) A primitive, e o valor de \(C_2\text{,}\) são obtidos como segue:
\begin{equation*}
f'(x) = \frac{5}{2}x^2 - 6x - 17
= \frac{d}{dx} f(x)
= \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{3}\left(\frac{5}{2}x^3\right) - 6\left(\frac{1}{2}x^2\right)
- 17x + C_2\right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
f(-2) \amp = \frac{1}{3}\left(\frac{5}{2}(-2)^3\right) - 6\left(\frac{1}{2}(-2)^2\right)
- 17(-2) + C_2 \\
4 \amp = 15.33 + C_2 \\
-11.33 \amp = C_2
\end{aligned}
\end{equation*}
Portanto, a função \(f(x) = \frac{5}{6}x^3 + \frac{-6}{2}x^2 - 17x - 11.33\) de modo que \(f(3) = -66.83\text{.}\)
7.
Determine a seguinte integral definida \(\displaystyle \int 12\sin\!\left(x\right)-4\cos\!\left(x\right) \,dx=\) \(+C\)
Resposta.
\(-12\cos\!\left(x\right)-4\sin\!\left(x\right)\)
Solução.
\(\displaystyle \int 12\sin\!\left(x\right)-4\cos\!\left(x\right) \,dx= 12 \int \sin(x) \, dx - 4 \int \cos(x) \,dx\)
\(\quad = -12\cos\!\left(x\right)-4\sin\!\left(x\right) + C\)
8.
Considere a função \(f(t) = 9 \sec ^2(t) - 4 t^ { 2 }\text{.}\) Seja \(F(t)\) a primitiva de \(f(t)\) com \(F(0) = 0\text{.}\)
Então \(F(1.5) =\)
Resposta.
\(122.412779524545\)
Solução.
Para resolver este problema, você precisa lembrar que a derivada de \(\rm{tg(t)}\) é \(\sec^2(t)\text{.}\) Não é difícil derivar isso usando a identidade \(\rm{tg}(t) = \frac{\rm{sen(t)}}{\cos(t)}\) e a regra do quociente para derivadas.
Com isso em mente, encontre a primitiva geral de \(f(t) = 9\sec^2(t)-{4}t^2\) que será \(F(t) = 9\rm{tg(t)} - \frac{ {4}t^3 }{ 3} +
C\text{.}\) Agora usando o fato de \(F(0) = 0\) e que \(\rm{tg}(0) = 0\text{,}\) devemos ter \(C = 0\text{.}\)
Portanto, pondo 1.5 nesta expressão, obtemos:
\begin{equation*}
F(1.5) = 9\rm{tg}(1.5) - \frac{ 4(1.5)^3 }{ 3 }
= 122.413
\end{equation*}
9.
Encontre uma função \(f(x)\) tal que \(f''(x) = x + \cos{x}\) e, além disso, \(f (0) = 1\) e \(f'(0) = 2\text{.}\)
10.
Encontre a função \(f(x)\) sabendo que
\begin{equation*}
f''(x) = 8 \sin x, \quad f'(\pi) = 5, \quad f(\pi) = 0
\end{equation*}
\(f(x) =\)
Resposta.
\(-8\sin\!\left(x\right)+\left(-3\right)x+0-\left(-3\right)\pi \)
Solução.
Note que
\begin{equation*}
f'(x) = \int 8 \sin x \, dx = -8 \cos x + C_1.
\end{equation*}
Encontre \(C_1\) usando \(f'(\pi) = 5\text{.}\)
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
-8 \cos \pi + C_1 \amp =\amp 5\\
8 + C_1 \amp =\amp 5\\
C_1 \amp =\amp -3
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
f(x) = \int \left( -8 \cos x - 3 \right) \, dx
= -8 \sin x - 3 x + C_2.
\end{equation*}
Encontre \(C_2\) usando \(f(\pi) = 0\text{.}\)
\begin{equation*}
\begin{array}{rcl}
-8 \sin \pi - 3 \pi + C_2 \amp =\amp 0\\
C_2 \amp =\amp 0 + 3 \pi
\end{array}
\end{equation*}
Logo, \(f(x) = -8 \sin x - 3 x + 0 + 3 \pi\text{.}\)
11.
Encontre a seguinte derivada e estabeleça uma fórmula de integração correspondente.
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left[\frac{x+3}{3x^{2}-x+5}\right]
\end{equation*}
\(\displaystyle \int\) \(dx\) \(=\) \(+\) \(C\)
Resposta 1.
\(\frac{-3x^{2}-18x+8}{\left(3x^{2}-x+5\right)^{2}}\)
Resposta 2.
\(\frac{x+3}{3x^{2}-x+5}\)
Solução.
Usaremos a Regra do Quociente para computar a derivada.
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left[\frac{x+3}{3x^{2}-x+5}\right]=\frac{\frac{d}{dx}\left[x+3\right]\cdot (3x^{2}-x+5)-(x+3)\cdot \frac{d}{dx}[3x^{2}-x+5]}{(3x^{2}-x+5)^2}
\end{equation*}
\begin{equation*}
=\frac{3x^{2}-x+5-\left(x+3\right)\!\left(3\cdot 2x-1\right)}{\left(3x^{2}-x+5\right)^{2}}=\frac{3x^{2}-x+5-6x^{2}+x-18x+3}{\left(3x^{2}-x+5\right)^{2}}=\frac{-3x^{2}-18x+8}{\left(3x^{2}-x+5\right)^{2}}
\end{equation*}
Se integrarmos isso, teremos o que começamos com mais uma constante arbitrária.
\begin{equation*}
\displaystyle \int \left[ \frac{-3x^{2}-18x+8}{\left(3x^{2}-x+5\right)^{2}}\right]dx= \frac{x+3}{3x^{2}-x+5} +C
\end{equation*}
12.
Determine a integral indefinida e verifique sua resposta usando derivada.
\(\displaystyle \int\left [\frac{\sec\!\left(x\right)+\cos\!\left(x\right)}{3\cos\!\left(x\right)}\right] dx\) \(=\) \(+\) \(C\)
Resposta.
\(\frac{\tan\!\left(x\right)+x}{3}\)
Solução.
\begin{equation*}
\displaystyle \int \left [\frac{\sec\!\left(x\right)+\cos\!\left(x\right)}{3\cos\!\left(x\right)} \right] dx= \frac{1}{3}\int \sec^{2}\!\left(x\right) \;dx+\frac{1}{3}\int \;dx= \frac{1}{3}\left(\tan\!\left(x\right)+x\right)+C
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{3}\left(\tan\!\left(x\right)+x\right)+C\right]=\frac{1}{3}\left(\sec^{2}\!\left(x\right)+1\right)=\frac{\sec\!\left(x\right)+\cos\!\left(x\right)}{3\cos\!\left(x\right)}
\end{equation*}
